2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第31講 不等式性質(zhì)及證明教案 新人教版一課標(biāo)要求：1不等關(guān)系通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景；2基本不等式：（a,b0）探索并了解基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}。二命題走向不等式歷來是高考的重點內(nèi)容。對于本將來講，考察有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內(nèi)容在復(fù)習(xí)時，要在思想方法上下功夫。預(yù)測xx年的高考命題趨勢：1從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主；2利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關(guān)最值問題是考察的重點和熱點，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。三要點精講1不等式的性質(zhì)比較兩實數(shù)大小的方法求差比較法；。定理1：若，則；若，則即。說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。定理2：若，且，則。說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運(yùn)算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。定理3：若，則。說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（2）定理3的證明相當(dāng)于比較與的大小，采用的是求差比較法；（3）定理3的逆命題也成立； （4）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。定理3推論：若。說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式。定理4如果且，那么；如果且，那么。推論1：如果且，那么。說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。推論2：如果， 那么 。定理5：如果，那么 。2基本不等式定理1：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）。說明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強(qiáng)調(diào)取“”的條件。定理2：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）說明：（1）這個定理適用的范圍：；（2）我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)。即：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3常用的證明不等式的方法（1）比較法比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結(jié)論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。（2）綜合法利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)時要注意它們各自成立的條件。綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。（3）分析法證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。（1）“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”；（2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程。四典例解析題型1：考查不等式性質(zhì)的題目例1（1）（06上海文，14）如果，那么，下列不等式中正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）（2）（06江蘇，8）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C） （D）解析：（1）答案：A；顯然，但無法判斷與的大小；（2）運(yùn)用排除法，C選項，當(dāng)ab<0時不成立，運(yùn)用公式一定要注意公式成立的條件，如果，如果a,b是正數(shù)，那么點評：本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論。例2（1）（xx京春文，1）設(shè)a，b，c，dR，且a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.a+c>b+d B.ac>bd C.ac>bd D.（2）（xx上海理，15）若a<b<0，則下列結(jié)論中正確的命題是（ ）A和均不能成立B.和均不能成立C.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立解析：（1）答案：A；a>b，c>d，a+c>b+d；（2）答案：B解析：b<0，b>0，ab>a，又ab<0，a<0，。故不成立。a<b<0，|a|>|b|，故不成立。由此可選B。另外，A中成立.C與D中（a+）2>（b+）2成立。其證明如下：a<b<0，<0，a+<b+<0，|a+|>|b+|，故（a+）2>（b+）2。點評：本題考查不等式的基本性質(zhì)。題型2：基本不等式例3（06浙江理，7）“ab0”是“ab”的（ ）(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不允分也不必要條件解析：A；中參數(shù)的取值不只是指可以取非負(fù)數(shù)。均值不等式滿足。點評：該題考察了基本不等式中的易錯點。例4（1）（xx京春）若實數(shù)a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.2（2）（xx全國，7）若ab1，P，Q（lgalgb），Rlg（），則（ ）A.RPQ B.PQRC.QPRD.PRQ解析：（1）答案：B；3a+3b2=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號。故3a+3b的最小值是6；（2）答案：B；lgalgb0，（lgalgb），即QP，又ab1，（lgalgb），即RQ，有PQR，選B。點評：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號成立的條件。題型3：不等式的證明例5已知a0，b0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)。證法一： (分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即證4(ab)233(ab)+80，即證ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，從而得證。證法二： (均值代換法)設(shè)a=+t1，b=+t2。a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|，顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時，等號成立。證法三：(比較法)a+b=1，a0，b0，a+b2，ab，證法四：(綜合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab， 。證法五：(三角代換法) a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，)，點評：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證。例6求使a(x0，y0)恒成立的a的最小值。分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習(xí)慣是將x、y與cos、sin來對應(yīng)進(jìn)行換元，即令=cos，=sin(0，這樣也得asin+cos，但是這種換元是錯誤的 其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件，顯然這是不對的。除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，af(x)，則amin=f(x)max 若 af(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題。還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化。解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y)，x，y0，x+y2， 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，中有等號成立。比較、得a的最小值滿足a21=1，a2=2，a= (因a0)，a的最小值是。解法二：設(shè) x0，y0，x+y2 (當(dāng)x=y時“=”成立)，1，的最大值是1。從而可知，u的最大值為，又由已知，得au，a的最小值為，解法三：y0，原不等式可化為+1a，設(shè)=tan，(0，)。tan+1a，即tan+1asecasin+cos=sin(+)，又sin(+)的最大值為1(此時=)。由式可知a的最小值為。點評：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力。該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值。題型4：不等式證明的應(yīng)用例7（06浙江理，20）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列x(x0)的第一項x1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）.求證：當(dāng)n時，()x（）。證明：（I）因為所以曲線在處的切線斜率因為過和兩點的直線斜率是所以.（II）因為函數(shù)當(dāng)時單調(diào)遞增，而，所以，即因此又因為令則因為所以因此故點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。例8（xx江蘇，22）已知a0，函數(shù)f（x）axbx2。（1）當(dāng)b0時，若對任意xR都有f（x）1，證明a2；（2）當(dāng)b1時，證明：對任意x0，1，|f（x）|1的充要條件是b1a2；（3）當(dāng)0b1時，討論：對任意x0，1，|f（x）|1的充要條件。（）證明：依設(shè)，對任意xR，都有f（x）1，f（x），1，a0，b0，a2（）證明：必要性：對任意x0，1，|f（x）|11f（x），據(jù)此可以推出1f（1），即ab1，ab1；對任意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因為b1，可以推出f（）1，即a11，a2；b1a2充分性：因為b1，ab1，對任意x0，1，可以推出：axbx2b（xx2）xx1，即axbx21；因為b1，a2，對任意x0，1，可以推出axbx22xbx21，即axbx21。1f（x）1。綜上，當(dāng)b1時，對任意x0，1，|f（x）|1的充要條件是b1a2（）解：因為a0，0b1時，對任意x0，1：f（x）axbx2b1，即f（x）1；f（x）1f（1）1ab1，即ab1，ab1f（x）（b1）xbx21，即f（x）1。所以，當(dāng)a0，0b1時，對任意x0，1，|f（x）|1的充要條件是ab122.解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2。當(dāng)a=a2時，a=0或a=1，x，當(dāng)aa2時，a1或a0，axa2，當(dāng)aa2時0a1，a2xa，當(dāng)a0時axa2，當(dāng)0a1時，a2xa，當(dāng)a1時，axa2，當(dāng)a=0或a=1時，x。點評：此題考查不等式的證明及分類討論思想。題型5：課標(biāo)創(chuàng)新題例9（06上海理，12）三個同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”；丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”；參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 。答案：a10。點評：該題通過設(shè)置情景，將不等式知識蘊(yùn)含在一個對話情景里面，考查學(xué)生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力。例10（06湖南文，20）在m（m2）個不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1ijm時PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)。（）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；（）令，證明，n=1,2,。解（）由已知得，。（）因為，所以.又因為，所以 =。綜上，。點評：該題創(chuàng)意新，知識復(fù)合到位，能很好的反映當(dāng)前的高考趨勢。五思維總結(jié)1不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證；（2）綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野。2不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點。3幾個重要不等式（1）（2）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）最值定理：若則：如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時，S的值最?。蝗绻鸖是定值, 那么當(dāng)x=y時，P的值最大； 注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境；還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓?；“和?積最大，積定 和最小”，可用來求最值；均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時取等號）；（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）。