2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.2總體分布的估計(jì)互動(dòng)課堂學(xué)案蘇教版必修3疏導(dǎo)引導(dǎo)1.頻率分布表 總體分布反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的頻率,由于總體很大或不便于獲得,因此我們可以利用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布.我們把反映總體頻率分布的表格稱(chēng)為頻率分布表.疑難疏引 （1）在頻率分布表中,頻數(shù)是指落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).頻率是各組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值.（2）編制頻率分布表的步驟如下：計(jì)算數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,算出了這個(gè)差就可以知道這組數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍有多大.決定組數(shù)與組距.將這一批數(shù)據(jù)分組,目的是要描述數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,要根據(jù)數(shù)據(jù)的多少來(lái)確定分組的數(shù)目.一般來(lái)說(shuō),數(shù)據(jù)越多,分的組也越多；通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間.決定分點(diǎn).要使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第1組的下限略去或把第1組的起點(diǎn)稍減小一點(diǎn).列頻率分布表.登記頻數(shù),計(jì)算頻率,列出頻率分布表. 頻率分布表能反映數(shù)據(jù)在某一范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性.如果這一范圍是由幾組數(shù)據(jù)組成的,則其出現(xiàn)的可能性為這幾組數(shù)據(jù)的頻率之和.在編制頻率分布表時(shí),若題目已給出了組距和組數(shù),可以直接列出頻率分布表.（3）頻率分布表的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn) 頻率分布表的優(yōu)點(diǎn)是:能直接反映數(shù)據(jù)在各范圍內(nèi)的頻數(shù)和頻率；其缺點(diǎn)是:不能直觀地反映數(shù)據(jù)的頻率分布,分布表是否正確.案例1 某班50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn),成績(jī)的分組及各組的頻數(shù)如下：40,50）,2；50,60）,3；60,70）,10；70,80）,15；80,90）,12；90,100,8. 列出樣本的頻率分布表.【探究】 頻率分布表如下：分 組頻 數(shù)頻 率40,50）20.0450,60)30.0660,70)100.270,80)150.380,90)120.2490,100)80.16規(guī)律總結(jié) 頻率分布表有兩條較為明顯的性質(zhì)：各組的頻數(shù)之和為樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).各組的頻率和為1.2.頻率分布直方圖 頻率分布表雖然能體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,但它并不直觀,為了直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的分布規(guī)律,我們需要畫(huà)頻率分布直方圖.在初中,我們學(xué)過(guò)如何繪制頻數(shù)直方圖,它能直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.同樣我們可以用直方圖來(lái)反映樣本的頻率分布規(guī)律.這種反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱(chēng)為頻率分布直方圖,簡(jiǎn)稱(chēng)頻率直方圖.疑難疏引 （1）繪制頻率分布直方圖的步驟把橫軸分為若干段,每一段對(duì)應(yīng)一組的組距,然后以線(xiàn)段為底,作一個(gè)矩形,它的高等于該組的,作出一系列的矩形；每個(gè)矩形的面積恰好是該組的頻率,這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖.在頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積和等于1. 在這里,要特別注意縱軸表示.（2）頻率分布直方圖的兩種類(lèi)型 用樣本頻率分布估計(jì)總體分布通常分兩種情況:當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí),其頻率分布表由所取的樣本的不同值及其相應(yīng)頻率表示,其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.條形圖中,縱軸表示的是頻率,條形圖的高為該組數(shù)據(jù)的頻率.但應(yīng)注意:“總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少”并不是指“總體中的個(gè)數(shù)很少.” 例如:拋擲硬幣的試驗(yàn)中,盡管樣本的容量達(dá)到了72 088,但試驗(yàn)結(jié)果只有兩種,即正面向上和反面向上.如果記“正面向上”的結(jié)果為0,記“反面向上”為1,則樣本中數(shù)據(jù)只有兩個(gè)取值.此時(shí),該樣本的頻率分布表的幾何表示就為相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中個(gè)體取不同值較多,甚至無(wú)限時(shí),對(duì)其頻率分布研究用到初中學(xué)過(guò)的整理樣本數(shù)據(jù)的知識(shí),用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)的樣本的頻率分布.（3）頻率分布直方圖的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn) 頻率分布直方圖雖然能直觀體現(xiàn)數(shù)的分布規(guī)律,但要繪制頻率分布直方圖過(guò)程比較復(fù)雜,且它不能直接體現(xiàn)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布.案例2 下表給出了從某校500名12歲的男生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得出的120人的身高資料（單位：厘米）區(qū)間界限122,126）126,130）130,134）134,138）138,142）人數(shù)58102233區(qū)間界限142,146）146,150）150,154）154,158）人數(shù)201165（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)身高低于134厘米的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比和身高在區(qū)間134,146）（厘米）內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.【探究】（1）樣本頻率分布表：分 組頻 數(shù)頻 率122,126）50.04126,130)80.07130,134)100.08134,138)220.18138,142)330.28142,146)200.17146,150)110.09150,154)60.05154,158)50.04合計(jì)1201.00（2）樣本的頻率分布直方圖如下圖所示.（3）樣本中身高低于134厘米的男生出現(xiàn)的頻率為0.19,由樣本頻率可估計(jì)該校身高低于134厘米的男生占這500名12歲男生總數(shù)的19%.樣本中身高在區(qū)間134,146）（厘米）內(nèi)的男生出現(xiàn)的頻率為=0.625,估計(jì)該校500名12歲男生中身高在區(qū)間134,146）（厘米）內(nèi)的有62.5%.規(guī)律總結(jié) 按要求制表、繪圖,并根據(jù)樣本的分布估計(jì)總體的分布時(shí),要合理分組,并準(zhǔn)確找出各組頻數(shù),而相應(yīng)頻率是通過(guò)求頻數(shù)與樣本容量的比計(jì)算出來(lái)的.本題已知條件已完成前期工作（即抽樣、分組、確定頻數(shù)）.制作頻率分布表,畫(huà)頻率分布直方圖,注意縱軸表示的不是頻率,而是頻率與組距之比.體會(huì)用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想方法.3.頻率折線(xiàn)圖與總體分布的密度曲線(xiàn)（1）頻率折線(xiàn)圖的定義 將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái),就可以得到一條折線(xiàn),這條折線(xiàn)就是本組數(shù)據(jù)的頻率折線(xiàn)圖.（2）頻率折線(xiàn)圖的畫(huà)法 頻率折線(xiàn)圖是在頻率分布直方圖的基礎(chǔ)上,取直方圖中各小矩形的上底邊的中點(diǎn)連結(jié)而成的.畫(huà)頻率折線(xiàn)圖時(shí)還應(yīng)注意:取值區(qū)間兩端點(diǎn)需分別向外延伸半個(gè)組距,以使折線(xiàn)首尾分別與橫軸相連.（3）頻率折線(xiàn)圖的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn) 頻率折線(xiàn)圖的優(yōu)點(diǎn)是它能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì),但它不能直接體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.（4）總體分布的密度曲線(xiàn) 在畫(huà)頻率折線(xiàn)圖時(shí),如果將樣本容量取得足夠大,分組的組距取得足夠小,這條折線(xiàn)將趨于一條曲線(xiàn),這一曲線(xiàn)為總體的密度曲線(xiàn),它能反映出總體分布規(guī)律.疑難疏引 （1）總體密度曲線(xiàn)精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域取值的規(guī)律,根據(jù)這條曲線(xiàn),總體在（a,b）內(nèi)取值的百分率就是總體密度曲線(xiàn)與直線(xiàn)x=a,x=b及x軸所圍成的圖形的面積.（2）總體密度曲線(xiàn)呈中間高、兩邊低的“鐘”形分布,總體的數(shù)據(jù)大致呈對(duì)稱(chēng)分布,并且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都集中在靠近中間的區(qū)間內(nèi).4.莖葉圖 制作莖葉圖的方法是:當(dāng)所給數(shù)據(jù)為一位數(shù)時(shí),可將0作為莖葉較長(zhǎng)的莖,而它本身作為葉；當(dāng)所給數(shù)據(jù)為兩位數(shù)時(shí),將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”,個(gè)位數(shù)字作為“葉”；當(dāng)所給的數(shù)據(jù)為三位數(shù)時(shí),可將百位和十位作為莖,而個(gè)位作為葉.莖相同的數(shù)據(jù)共用一個(gè)莖,莖按從小到大的順序從上到下排列,共用莖的葉一般要按從大到小(也可以從小到大)的順序同行排出.制作莖葉圖時(shí),一般用一個(gè)豎線(xiàn)將莖葉隔開(kāi).由莖葉圖我們可以粗略地看出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的范圍.莖葉圖不但可以分析單組數(shù)據(jù),也可以對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比.當(dāng)列兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖時(shí),它們可以共同用一個(gè)莖. 莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)： 莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是:所有信息都可以從莖葉圖中得到體現(xiàn),而且莖葉圖便于記錄和表示；它既可以分析單組數(shù)據(jù),也可以對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較. 莖葉圖的缺點(diǎn)是:莖葉圖不方便表示位數(shù)在三位以上的數(shù)據(jù).案例3 某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽的得分情況如下： 甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50. 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.（1）畫(huà)出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖；（2）根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員的水平.【探究】當(dāng)所給數(shù)據(jù)為兩位數(shù)時(shí)，將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個(gè)位數(shù)字作為“葉”.當(dāng)列兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖時(shí)，它們可以共同用一個(gè)莖.【解析】按照作莖葉圖的方法首先畫(huà)出莖葉圖，然后分析.（1）作出莖葉圖如下圖所示：（2）由上面的莖葉圖可以看出，甲運(yùn)動(dòng)員的得分情況是大致對(duì)稱(chēng)的，中位數(shù)是36；乙運(yùn)動(dòng)員的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對(duì)稱(chēng)，中位數(shù)是26.因此甲運(yùn)動(dòng)員的發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙運(yùn)動(dòng)員好.規(guī)律總結(jié) 在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且還可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來(lái)方便. 畫(huà)莖葉圖的步驟如下：（1）將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位）兩部分，此例中莖為十位上的數(shù)字，葉為個(gè)位上的數(shù)字.（2）將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫(xiě)在左（右）側(cè).（3）將各數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o右（左）側(cè).（4）當(dāng)數(shù)據(jù)是由整數(shù)部分和小數(shù)部分組成時(shí)，可以把整數(shù)部分作為莖，小數(shù)部分作為葉.（5）比較時(shí)從數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱(chēng)性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾個(gè)方面來(lái)比較.活學(xué)巧用1.在用樣本頻率估計(jì)總體分布的過(guò)程中,下列說(shuō)法中正確的是（ ）A.總體容量越大,估計(jì)越精確B.總體容量越小,估計(jì)越精確C.樣本容量越大,估計(jì)越精確D.樣本容量越小,估計(jì)越精確解析：總體分布是指總體取值的分布規(guī)律,這種分布我們一般是不知道的.用樣本去估計(jì)總體,是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想,對(duì)于不易知道的總體分布,常常用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì).樣本的容量越大,這種估計(jì)就越精確.用樣本估計(jì)的思想就是用部分考察全體、用離散考察連續(xù)、用有限考察無(wú)限的思想,是用觀察測(cè)量值來(lái)探究客觀規(guī)律的一種重要的基本思想.答案：C2.一個(gè)容量為80的樣本最大值是140,最小值是51,組距是10,則可以分成（ ）A.10組 B.9組 C.8組 D.7組解析：極差=140-51=89,=8.9不為整數(shù).組數(shù)應(yīng)為9.答案：B3.已知樣本：10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,12,9,11,11,9,10,11,12.那么頻率為0.2的范圍是（ ）A.5.57.5 B.7.59.5 C.9.511.5 D.11.513.5解析：只要列出頻率分布表,就可找到答案,頻率分布表如下：分 組頻率累計(jì)頻 數(shù)頻 率5.57.520.17.59.560.39.511.580.411.513.540.2合計(jì)0 從表中可以知道頻率為0.2的范圍是11.513.5.答案：D4.在頻率分布直方圖中,各個(gè)矩形的面積表示（ ）A.落在相應(yīng)各組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)B.相應(yīng)各組的頻率C.該樣本所分成的組數(shù)D.該樣本的樣本容量解析：在頻率分布直方圖中,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示.答案：B5.觀察新生嬰兒的體重,其頻率分布直方圖如下圖所示,則新生嬰兒的體重在2 700,3 000的頻率為（ ）A.0.001 B.0.01 C.0.003 D.0.3解析：本題考查總體分布的頻率分布直方圖.由圖可知：頻率=組距,易知：=0.001,組距=3 000-2 700=300,頻率=0.001300=0.3.答案：D6.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生,得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù),結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為（ ）A.0.6小時(shí) B.0.9小時(shí) C.1.0小時(shí) D.1.5小時(shí)解析：=0.9.答案：B7.對(duì)50臺(tái)某種電子設(shè)備的壽命逐臺(tái)進(jìn)行測(cè)試,得到下列數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）910,1 220,1 280,20,2 330,900,860,1 450,1 220,550,160,2 020,1 590,1 730,490,1 620,560,530,500,240,1 280,60,190,290,740,1 160,220,910,40,1 410,3 650,3 410,70,510,1 270,610,310,220,370,60,1 750,890,790,1 280,570,760,50,1 530,1 860,1 280.(1)列出樣本的頻率分布表；（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）根據(jù)所得結(jié)果估計(jì),壽命小于2 500小時(shí)的百分比約是多少？解析：（1）頻率分布表如下：組號(hào)范圍頻數(shù)頻率10,500160.322500,1 000140.2831 000,1 500100.2041 500,2 00060.1252 000,2 50020.0462 500,3 00000.0073 000,3 50010.0283 500,4 00010.02合計(jì)501.00（2）頻率分布直方圖如下圖所示.（3）觀察上圖表知,小于2 500小時(shí)的約占96%.8.在案例2中,怎樣畫(huà)出頻率分布折線(xiàn)圖呢？解析：把頻率分布直方圖各個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)用線(xiàn)段連接起來(lái),就得到頻率分布折線(xiàn)圖如下.9.對(duì)于樣本頻率分布折線(xiàn)圖與總體密度曲線(xiàn)的關(guān)系,下列說(shuō)法中正確的是（ ）A.頻率分布折線(xiàn)圖與總體密度曲線(xiàn)無(wú)關(guān)B.頻率分布折線(xiàn)圖就是總體密度曲線(xiàn)C.樣本容量很大的頻率分布折線(xiàn)圖就是總體密度曲線(xiàn)D.如果樣本容量無(wú)限增大,分組的組距無(wú)限減小,那么頻率分布折線(xiàn)圖就會(huì)無(wú)限接近于總體密度曲線(xiàn)解析：因?yàn)槿绻麡颖救萘繜o(wú)限增大,分組的組距無(wú)限縮小,那么頻率分布折線(xiàn)圖就會(huì)無(wú)限地接近于一條光滑曲線(xiàn),這條曲線(xiàn)就是總體密度曲線(xiàn).答案：D點(diǎn)評(píng)：頻率分布指的是一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.（1）頻率分布直方圖中縱軸表示,頻率=.（2）頻率分布表中各組中的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組中頻率之和等于1.（3）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種不同形式,前者準(zhǔn)確,后者直觀.（4）頻率分布折線(xiàn)圖依賴(lài)于頻率分布直方圖.（5）總體密度曲線(xiàn)是總體中個(gè)體數(shù)較多,樣本容量很大,樣本分組數(shù)很多,這時(shí)頻率分布折線(xiàn)圖接近于一條光滑曲線(xiàn).10.某公司職工的月工資表如下：職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職工人數(shù)11215320工資5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5 000元提升到20 000元,董事長(zhǎng)的工資從5 500元提升到30 000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？（精確到元）（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的工資水平？結(jié)合此問(wèn)題談一談人的看法.解析：（1）平均數(shù)是2 090元,中位數(shù)是1 500元,眾數(shù)是1 500元.（2）平均數(shù)是3 288元,中位數(shù)是1 500元,眾數(shù)是1 500元.（3）在這個(gè)問(wèn)題中,中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的工資水平.因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的工資水平.11.甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?甲組 76 90 84 86 81 87 86 82 85 83 乙組 82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 用莖葉圖表示兩小組的成績(jī),并判斷哪個(gè)小組的成績(jī)更整齊一些.解：莖葉圖表示如下： 容易看出甲組成績(jī)較集中,即甲組成績(jī)更整齊一些.點(diǎn)評(píng)：用莖葉圖分析數(shù)據(jù)直觀、清晰,所有信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到.