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2019-2020年高二數(shù)學下 11.1《直線方程》教案（2） 滬教版 　一、教學內(nèi)容分析 本節(jié)的重點是直線的點法向式方程以及一般式方程的推導及應用.在上一堂課的基礎上，通過向量垂直的充要條件（對應坐標的關系式）推導出直線的點法向式方程.引導同學發(fā)現(xiàn)直線的點方向式方程、點法向式方程都可以整理成關于的一次方程（不全為零）的形式. 本節(jié)的難點是通過對直線與二元一次方程關系的分析，初步認識曲線與方程的關系并體會解析幾何的基本思想！從而培養(yǎng)學生用坐標法對平面直線（和以后的圓錐曲線）的研究能力. 二、教學目標設計 在理解直線方程的意義，掌握直線的點方向式方程的基礎上，進一步探究點法向式方程以及一般式方程；學會分類討論、數(shù)形結合等數(shù)學思想，形成探究能力. 三、教學重點及難點 直線的點法向式方程以及一般式方程； 四、教學流程設計 復習上節(jié)課內(nèi)容 引導學生自主探究點法向式方程 一般式方程 運用與深化(例題解析、鞏固練習) 課堂小結并布置作業(yè) 五、教學過程設計 一、復習上一堂課的教學內(nèi)容 二、講授新課 （一）點法向式方程 1、概念引入 從上一堂課的教學中，我們知道，在平面上過一已知點，且與某一方向平行的直線是惟一確定的．同樣在平面上過一已知點，且與某一方向垂直的直線也是惟一確定的． 2、概念形成 n 直線的點法向式方程 在平面上過一已知點，且與某一方向垂直的直線是惟一確定的.建立直角坐標平面，設的坐標是，方向用非零向量表示. n 直線的點法向式方程的推導 設直線上任意一點的坐標為，由直線垂直于非零向量，故.根據(jù)的充要條件知，即：①；反之，若為方程⑤的任意一解，即，記為坐標的點為，可知，即在直線上.綜上，根據(jù)直線方程的定義知，方程⑤是直線的方程，直線是方程①的直線. 我們把方程叫做直線的點法向式方程，非零向量叫做直線的法向量. 3、概念深化 從上面的推導看，法向量是不唯一的，與直線垂直的非零向量都可以作為法向量. 若直線的一個方向向量是，則它的一個法向量是. 4、例題解析 例1 已知點，求的垂直平分線的點法向式方程. 解 由中點公式，可以得到的中點坐標為，是直線的法向量， 所以，的垂直平分線的點法向式方程. [說明]關鍵在于找點和法向量！ 例2已知點和點是三角形的三個頂點，求 （1）邊所在直線方程； （2）邊上的高所在直線方程. 解（1）因為邊所在直線的一個方向向量＝（7，5），且該直線經(jīng)過點，所以邊所在直線的點方向式方程為 （2）因為邊上的高所在的直線的一個法向量為＝（7，5），且該直線經(jīng)過點，所以高所在直線的點法向式方程為 ５、鞏固練習 練習11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入 由直線的點方向式方程和點法向式方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于的二元一次方程表示；那么每一個關于的二元一次方程（，不同時為0）是否都表示一條直線呢？ 2、概念形成 n 直線的一般式方程的定義 直線的點方向式方程和直線的點法向式方程經(jīng)過整理，成為的二元一次方程. 反之，任意二元一次方程都是直線方程么？回答是肯定的.首先，當時，方程可化為，根據(jù)直線點法向式方程可知，這是過點，以為一個法向量的直線；當時，方程為，由于，方程化為，表示過點且垂直于軸的直線. 所以二元一次方程是直線的方程，叫做直線的一般式方程. ３、例題解析 例1 中，已知、，求邊的中垂線的一般式方程. 解 直線過中點，，則其點法向式方程為，整理為一般式方程. [說明]點法向式方程化為一般式方程. 例2（1）求過點且平行于直線的直線方程； （2）求過點且垂直于直線的直線方程. 解 （1）解一：，又直線過點，故直線的方程為化簡得. 解二：又直線過點，故直線的點法向式方程為化簡得. 解三：設與平行的直線方程為，又直線過點故，，所以直線的方程是. （2）解一：的法向量為所求直線的方向向量，又直線過點，故直線的方程為化簡得. 解二：設與垂直的直線方程為，又直線過點故，，所以直線的方程是. [說明]一般地，與直線平行的直線可設為；而與直線垂直的直線可設為. 例3能否把直線方程化為點方向式方程？點法向式方程？若能，它的點方向式方程和點法向式紡方程是否唯一？并觀察x、y的系數(shù)與方向向量和法向量有什么聯(lián)系？ 解： 、、、…… 、4（x+4）+6(y-1)=0…… 能夠化成點方向式的形式，并且有無數(shù)個！ 所有的方向向量之間存在：一個非零實數(shù)，使得； 易得點法向式方程也是不唯一的，并且有無數(shù)個！ 所有的法向量之間存在：一個非零實數(shù)，使得 變式：直線的方向向量可以表示為 直線的法向量可以表示為 [說明]注意直線的一般式方程和點方向式方程與點法向式方程的聯(lián)系. 三、鞏固練習 練習11.1（3） 補充練習 1、（1）若直線過兩點，則分別叫做該直線在軸上的截距.當時，求直線的方程； （2）若過點的直線在兩坐標軸上截距相等，求直線的方程. 2、 已知直線過點且與軸分別交于兩點. （1）若為中點，求直線的方程；（2）若分所成的比為，求的方程. 3、已知直線的方程為： （1）求證:不論取何值，直線恒過定點； （2）記（1）中的定點為，若（為原點），求實數(shù)的值. 4、中，三個頂點坐標依次為、、，求（1）直線與直線的方程；（2）點坐標. 5、．過點作一直線，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5個單位面積，求直線的方程. 6、已知兩直線和都通過,求證：經(jīng)過兩點，的直線方程是. 四、課堂小結 １.直線的點法向式方程和一般方程的推導； ２．直線的點方向式方程、點法向式方程和一般方程這三種形式方程之間的互相之間的聯(lián)系. ３、確定直線方程的幾個要素 五、課后作業(yè) 習題11.1 A組5,6,7；B組3，4 習題11.1 A組8 補充作業(yè)： 1. 直線的單位法向量是___________. 2. 直線的一般式方程為，則其點方向式方程可以是__________；點法向式方程可以是_____________. 3. 過且垂直軸的直線方程是_______________. 4. 若直線的法向量恰為直線的方向向量，求實數(shù)的值. 5. 已知點及直線，求： （1）過點且與平行的直線方程；（2）過點且與垂直的直線方程. 6. 正方形的頂點的坐標為，它的中心的坐標為，求正方形兩條對角線所在的直線方程. 7. 已知的坐標分別為，其中均為正整數(shù)，問過這三點的直線是否存在？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 8. 設直線的方程為 （1） 證明：直線過定點； （2） 若在兩坐標軸上的截距相等，求的方程. 六、教學設計說明 在上一堂課的基礎上，通過向量垂直的充要條件（對應坐標的關系式），引導學生自主推導出直線的點法向式方程. 通過對直線與二元一次方程關系的分析，引導學生經(jīng)歷由特殊到一般的思維過程，培養(yǎng)學生的探究能力.