2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.3圓的方程2.3.2圓的一般方程優(yōu)化訓(xùn)練新人教B版必修5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A.m< B.m<10 C.m> D.m解析：方程x2+y2-x+y+m=0，變形為(x-)2+(y+)2=-m，方程表示圓，-m0，即m.答案：A2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圓( )A.關(guān)于x軸對(duì)稱 B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱 D.關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱解析：考查方程表示圓的判定、直覺(jué)思維能力.圓的方程化為(x+a)2+(y-a)2=2a2,圓心(-a,a).由圓心坐標(biāo)易知圓心在x+y=0上,圓關(guān)于x+y=0對(duì)稱.答案：D3.已知圓x2-4x-4+y2=0的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線x-y-1=0的距離是_.解析：本題考查圓的一般方程向標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化和點(diǎn)到直線的距離公式.由x2-4x-4y20得(x-2)2+y2=8,即圓心為(2,0),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得.答案：10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a的值是( )A.-1 B.2 C.-1或2 D.1解析：本題考查圓的一般方程,由可得a=-1或a=2(舍).答案：A2.方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示圓，當(dāng)該圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為( )A.(0,-1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(-1,1)解析：由半徑最大可求k值為0，進(jìn)而求圓心坐標(biāo).答案：A3.若直線l將圓x2+y2-4x-2y=0平分,并且l不經(jīng)過(guò)第二象限,則直線l的斜率的取值范圍是( )A.1,2 B.,+) C.2,+) D.(-,解析：由已知,l過(guò)圓的圓心C(2,1),又l不過(guò)第二象限,畫(huà)圖分析,知直線l的斜率kkOC=.答案：B4.試判斷A(1,2),B(0,1),C(1,-6),D(4,3)四點(diǎn)是否在同一圓上.解：因?yàn)榫€段AB、BC的斜率分別為kAB=1，kBC=-7，kABkBC，所以A、B、C三點(diǎn)不共線.過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2-8x+4y-5=0.因?yàn)?2+32-84+43-5=0，所以點(diǎn)D在此圓上.故A、B、C、D四點(diǎn)共圓.5.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0.(1)t為何值時(shí),方程表示圓?(2)t為何值時(shí),方程表示的圓半徑最大?請(qǐng)求出半徑最大時(shí)圓的方程.解：(1)方程表示圓的條件是-2(t+3)2+2(1-4t2)2-4(16t4+9)0，即7t2-6t-10.解得t1.當(dāng)t1時(shí),方程表示圓.(2)當(dāng)t1時(shí),方程表示圓,其半徑為r=.當(dāng)t=時(shí)，半徑有最大值,rmax=,此時(shí)圓心坐標(biāo)為(t+3,4t2-1),即().故半徑最大時(shí),圓的方程為()2+()2=.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是( )A.a<-2 B.<a<0 C.-2<a<0 D.-2<a<解析：由D2+E2-4F0可得.答案：D2.曲線x2+y2+22x-22y=0關(guān)于( )A.直線x=2軸對(duì)稱 B.直線y=-x軸對(duì)稱C.點(diǎn)(-2,2)中心對(duì)稱 D.點(diǎn)(-2,0)中心對(duì)稱解析：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+)2+(y-)2=4.圓心()在直線y=-x上，故圓關(guān)于y=-x軸對(duì)稱.故選B.答案：B3.設(shè)A、B是直線3x+4y+2=0與圓x2+y2+4y=0的兩個(gè)交點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是( )A.4x-3y-2=0 B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0 D.3x+4y+8=0解析：即求過(guò)圓心(0，-2)且與直線3x+4y+2=0垂直的直線方程，即y+2=x，整理,得4x-3y-6=0.答案：B4.圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是( )A.36 B.18 C. D.解析：x2+y2-4x-4y-10=0(x-2)2+(y-2)2=18,即圓心為(2,2),半徑為.由點(diǎn)到直線的距離公式得,由數(shù)形結(jié)合思想可得:該圓上點(diǎn)到已知直線的距離的最小值為,最大值為,故所求距離之差為.答案：C5.過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是( )A.y= B.y=C.y= D.y=解析：設(shè)直線方程為y=kx,由圓心(-2,0)到直線kx-y=0(k0)的距離等于圓的半徑1，得=1，解得k=,所以所求直線方程為y=.答案：C6.已知A(-2,0)、B(0,2),點(diǎn)C是圓x2+y2-2x=0上任意一點(diǎn),則ABC的面積的最大值為( )A. B. C. D.解：要使ABC的面積最大,即要求點(diǎn)C到AB的距離最大,亦即求圓上點(diǎn)中到直線AB距離的最大值,應(yīng)為圓心到直線AB距離d與半徑r之和.由于圓心C(1,0)到直線AB:x-y+2=0的距離d為,即C到AB的距離的最大值為+1,故ABC面積的最大值為|AB|(+1)=.答案:D7.直線x-y+4=0被圓(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦長(zhǎng)為( )A. B. C. D.解析：利用圓半徑r、弦心距d、弦的關(guān)系:弦長(zhǎng)為.答案：B8.設(shè)圓x2+y2-4x-5=0的弦AB的中點(diǎn)為P(3，1)，則直線AB的方程是_.解析：直線AB的方程與點(diǎn)P和圓心所確定的直線垂直，由點(diǎn)斜式可得.答案：x+y-5=09.已知3x+4y-10=0與圓x2+y2-5y+F=0相交于A、B兩點(diǎn)，且OAOB(O是原點(diǎn))，則F=_.解析：易得圓x2+y2-5y+F=0的圓心坐標(biāo)為(0,),它在3x+4y-10=0上，再由OAOB，可知圓x2+y2-5y+F=0過(guò)原點(diǎn)O，將O(0,0)代入圓方程可求得F=0.答案：010.已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為_(kāi).解析：將圓的一般方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y-1)2=1,圓心C(1,1)，r=1,如圖所示.方法一:從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)看問(wèn)題：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x+4y+8=0向左上方或向右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，RtPAC的面積SRtPAC=d(P,A)d(A,C)=d(P,A)越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大；當(dāng)P點(diǎn)從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小.顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直于直線時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)d(P,C)=3，從而d(P,A)=.S四邊形PACB的最小值=2d(P,A)d(A,C)=.方法二：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則d(P,C)=，由勾股定理及|AC|=1，得d(P,A)=.從而S四邊形PACB=2SPAC=2d(P,A)d(A,C)=d(P,A)=,從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，即定點(diǎn)C(1,1)與直線上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn)C(1,1)到直線3x+4y+8=0距離的平方，即d2=()2=9.S四邊形PACB最小值=.方法三：利用函數(shù)的思想.將方法二中S四邊形PACB=中的y，從3x+4y+8=0中解出，代入關(guān)于x的一元函數(shù)，進(jìn)而用配方法求最值，也可得S四邊形PACB的最小值=.答案：11.已知實(shí)數(shù)x、y滿足關(guān)系式：x2+y2-6x-4y+12=0,點(diǎn)P(x,y),A(-1,0),B(1,0).(1)求的最大值與最小值；(2)求x2+y2的最大值與最小值；(3)求x-y的最大值與最小值.解：(1)設(shè)=k,則y=kx,當(dāng)直線y=kx與圓x2+y2-6x-4y+12=0，即(x-3)2+(y-2)2=1相切時(shí)，取得最值.圓心(3，2)到y(tǒng)=kx的距離等于1.=1.k=.的最大值為,最小值為.(2)設(shè)x2+y2=r2，當(dāng)兩圓相切時(shí)，x2+y2取得最值.圓心距=|r1|.r=1.r2=142.x2+y2的最大值為14+2，最小值為14-.(3)設(shè)x-y=m，當(dāng)直線x-y=m與圓相切時(shí)，x-y取得最值.=1.m=1.x-y的最大值為1+，最小值為1-.