2019-2020年高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)的概念》教案3 新人教A版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)的概念》教案3 新人教A版選修1-1.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)的概念》教案3 新人教A版選修1-1
教學(xué)目的:
1.理解導(dǎo)數(shù)的概念,學(xué)會求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的方法.
2.理解掌握開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)概念,會求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
3.理解函數(shù)在一點處可導(dǎo),則函數(shù)在這點連續(xù)
教學(xué)重點:導(dǎo)數(shù)的定義與求導(dǎo)數(shù)的方法.
教學(xué)難點:導(dǎo)數(shù)概念的理解,通過曲線切線的斜率與瞬時速度引出導(dǎo)數(shù)的概念,從導(dǎo)數(shù)的定義歸納出求導(dǎo)數(shù)的方法.
授課類型:新授課
課時安排:1課時
教 具:多媒體、實物投影儀
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.曲線的切線
如圖,設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象,點是曲線 c 上一點作割線PQ當(dāng)點Q 沿著曲線c無限地趨近于點P,割線PQ無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT,叫做曲線c在點P 處的切線
2.確定曲線c在點處的切線斜率的方法:
因為曲線c是給定的,根據(jù)解析幾何中直線的點斜是方程的知識,只要求出切線的斜率就夠了設(shè)割線PQ的傾斜角為,切線PT的傾斜角為,既然割線PQ 的極限位置上的直線PT 是切線,所以割線PQ 斜率的極限就是切線PQ的斜率tan,即
tan=
3.瞬時速度定義:運(yùn)動物體經(jīng)過某一時刻(某一位置)的速度,叫做瞬時速度.
4. 確定物體在某一點A處的瞬時速度的方法:
從t0到t0+Δt,這段時間是Δt. 時間Δt足夠短,就是Δt無限趨近于0. 當(dāng)Δt→0時,平均速度就越接近于瞬時速度,用極限表示瞬時速度
瞬時速度
二、講解新課:
1.導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)在處附近有定義,當(dāng)自變量在處有增量時,則函數(shù)相應(yīng)地有增量,如果時,與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無限趨近于某個常數(shù),我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作,即
注意:(1)函數(shù)應(yīng)在點的附近有定義,否則導(dǎo)數(shù)不存在
(2)在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中,趨近于0可正、可負(fù)、但不為0,而可能為0
(3)是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率,它的幾何意義是過曲線上點()及點)的割線斜率
(4)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率,它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度
它的幾何意義是曲線上點()處的切線的斜率因此,如果在點可導(dǎo),則曲線在點()處的切線方程為
(5)導(dǎo)數(shù)是一個局部概念,它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關(guān),與無關(guān)
(6)在定義式中,設(shè),則,當(dāng)趨近于0時,趨近于,因此,導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成
(7)若極限不存在,則稱函數(shù)在點處不可導(dǎo)
(8)若在可導(dǎo),則曲線在點()有切線存在反之不然,若曲線在點()有切線,函數(shù)在不一定可導(dǎo),并且,若函數(shù)在不可導(dǎo),曲線在點()也可能有切線
2. 導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù),此時對于每一個,都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù),從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),簡稱導(dǎo)數(shù),也可記作,即==
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在開區(qū)間上導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值,即=所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也記作
注意:導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù),這要加以區(qū)分:求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),就是求導(dǎo)函數(shù);求一個函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù),就是求導(dǎo)函數(shù)值它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點的函數(shù)值
3.可導(dǎo): 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都有導(dǎo)數(shù),則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)
4. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),那么函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù),反之不成立. 函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件,而不是充分條件.
從f(x)在x0處可導(dǎo)的定義可以知道,f(x)在x0處有定義,考察 f(x)在x0處是否有極限,并且是否等于f(x0).
已知f′(x0)=
令x=x0+Δx,當(dāng)Δx→0時,x→x0
∴f(x)=f(x0+Δx)=[f(x0+Δx)-f(x0)+f(x0)]
=[Δx+f(x0)]
=Δx +f(x0)=f′(x0)0+f(x0)=f(x0)
∴f(x)在x0處連續(xù).
連續(xù)未必可導(dǎo)可通過反例說明,如y=|x|=在x0=0處
∵y=(-x)=0,y=x=0,∴y=0
∴y=|x|在x=0處連續(xù).
=
∴y=|x|在x0=0處不可導(dǎo).
5. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:
(1)求函數(shù)的改變量
(2)求平均變化率
(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)=
三、講解范例:
例1求y=x2在點x=1處的導(dǎo)數(shù).
分析:根據(jù)求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的方法的三個步驟,先求Δy,再求,最后求.
解:Δy=(1+Δx)2-12=2Δx+(Δx)2,=2+Δx
∴= (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2.
注意:(Δx)2括號別忘了寫.
例2已知y=,求y′.
分析:求函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù),與求函數(shù)在一個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù),方法是一樣的,也是三個步驟,只是把x0換成x.
解:Δy=,
∴
.
點評:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也主要是求極限的值,所以極限是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ),求極限的一些基本方法不能忘掉.
例3 已知y=x3-2x+1,求y′,y′|x=2.
解:Δy=(x+Δx)3-2(x+Δx)+1-(x3-2x+1)
=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3-2x-2Δx+1-x3+2x-1
=(Δx)3+3x(Δx)2+(3x2-2)Δx
=(Δx)2+3xΔx+3x2-2
∴y′==[(Δx)2+3xΔx+3x2-2]=3x2-2.
方法一:∵y′=3x2-2,∴y′|x=2=322-2=10.
方法二:Δy=(2+Δx)3-2(2+Δx)+1-(23-22+1)=(Δx)3+6(Δx)2+10Δx
=(Δx)2+6Δx+10
∴y′|x=2==[(Δx)2+6Δx+10]=10.
點評:如果題目中要求y′,那么求y′|x=2時用方法一簡便
如果只要求y′|x=2,用方法二比較簡便
四、課堂練習(xí):
1.求y=2x2+4x在點x=3處的導(dǎo)數(shù).
解:Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(232+43)=2(Δx)2+16Δx,=2Δx+16
∴= (2Δx+16)=16,即y′|x=3=16
2.已知y=,求y′
解:Δy=,
∴=
=,∴y′=
五、小結(jié) :這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義,以及求導(dǎo)數(shù)方法的三個步驟.
f′(x0)=y′| ==
f′(x)=y′==
三個步驟:①求函數(shù)的增量Δy,②求平均變化率,③取極限f′(x0)= ,以及函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的可導(dǎo)性的必要條件而不是充分條件
六、課后作業(yè):
1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是它在x=x0處連續(xù)的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.在曲線y=2x2-1的圖象上取一點(1,1)及鄰近一點(1+Δx,1+Δy),則等于
A.4Δx+2Δx2 B.4+2Δx C.4Δx+Δx2 D.4+Δx
3.若曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y-1=0,則
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在
4.已知命題p:函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是常數(shù)函數(shù);命題q:函數(shù)y=f(x)是一次函數(shù),則命題p是命題q的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則等于
A.f′(x0) B.0 C.2f′(x0) D.-2f′(x0)
6.設(shè)f(x)=x(1+|x|),則f′(0)等于
A.0 B.1 C.-1 D.不存在
7.若曲線上每一點處的切線都平行于x軸,則此曲線的函數(shù)必是___.
8.曲線y=x3在點P(2,8)處的切線方程是___________.
9.曲線f(x)=x2+3x在點A(2,10)處的切線斜率k=___________.
10.兩曲線y=x2+1與y=3-x2在交點處的兩切線的夾角為___________.
11.設(shè)f(x)在點x處可導(dǎo),a、b為常數(shù),則=_____.
12.已知函數(shù)f(x)=,試確定a、b的值,使f(x)在x=0處可導(dǎo).
13.設(shè)f(x)=,求f′(1).
14.利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=|x|(x≠0)的導(dǎo)數(shù).
參考答案:
1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.常數(shù)函數(shù) 8.y=12x-16 9. 7
10.arctan 11.(a+b)f′(x)
12.解:== (Δx+1)=1
=
若b≠1,則不存在
∴b=1且a=1時,才有f(x)在x=0處可導(dǎo)
∴a=1,b=1.
13.解:f′(1)= =
==
14.解:∵y=|x|,∴x>0時,y=x,則∴=1.
當(dāng)x<0時,y=-x,,∴.
∴y′=
七、板書設(shè)計(略)
八、課后記: