2019-2020年高中數(shù)學(xué)指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案14（第三課時） 蘇教版必修1導(dǎo)入新課思路1.同學(xué)們,既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù),又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù),這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù),那么它是否也和數(shù)的推廣一樣,到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢?回顧數(shù)的擴充過程,自然數(shù)到整數(shù),整數(shù)到分數(shù)(有理數(shù)),有理數(shù)到實數(shù).并且知道,在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中,增添的數(shù)是實數(shù).對無理數(shù)指數(shù)冪,也是這樣擴充而來.既然如此,我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是:教師板書本堂課的課題(指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪.思路2.同學(xué)們,在初中我們學(xué)習了函數(shù)的知識,對函數(shù)有了一個初步的了解,到了高中,我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學(xué)習,有了更深的理解,我們僅僅學(xué)了幾種簡單的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等,這些遠遠不能滿足我們的需要,隨著科學(xué)的發(fā)展,社會的進步,我們還要學(xué)習許多函數(shù),其中就有指數(shù)函數(shù),為了學(xué)習指數(shù)函數(shù)的知識,我們必須學(xué)習實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),為此,我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪,因此我們本節(jié)課學(xué)習:指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪,教師板書本堂課的課題.推進新課新知探究提出問題我們知道=1.414 213 56,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,是的什么近似值？多媒體顯示以下圖表:同學(xué)們從上面的兩個表中,能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?的過剩近似值55的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738177525的近似值的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能給上述思想起個名字嗎?一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢?如5,根據(jù)你學(xué)過的知識,能作出判斷并合理地解釋嗎?借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎?活動：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問,學(xué)生回答,積極交流,及時評價學(xué)生,學(xué)生有困惑時加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容:問題從近似值的分類來考慮,一方面從大于的方向,另一方面從小于的方向.問題對圖表的觀察一方面從上往下看,再一方面從左向右看,注意其關(guān)聯(lián).問題上述方法實際上是無限接近,最后是逼近.問題對問題給予大膽猜測,從數(shù)軸的觀點加以解釋.問題在的基礎(chǔ)上,推廣到一般的情形,即由特殊到一般.討論結(jié)果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,這些數(shù)都小于,稱的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,這些數(shù)都大于,稱的過剩近似值.第一個表:從大于的方向逼近時,5就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于52的方向逼近5.第二個表:從小于2的方向逼近時,5就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向逼近5.從另一角度來看這個問題,在數(shù)軸上近似地表示這些點,數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向接近5,而另一方面5從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于5的方向接近5,可以說從兩個方向無限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果,事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示5的點靠近,但這個點一定在數(shù)軸上,由此我們可得到的結(jié)論是5一定是一個實數(shù),即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<<5<<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明5是一個實數(shù).逼近思想,事實上里面含有極限的思想,這是以后要學(xué)的知識.根據(jù)我們可以推斷5是一個實數(shù),猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù).無理數(shù)指數(shù)冪的意義:一般地,無理數(shù)指數(shù)冪a（a>0,是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù).也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù),并且它的結(jié)果是一個實數(shù),這樣指數(shù)概念又一次得到推廣,在數(shù)的擴充過程中,我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義,知道它是一個確定的實數(shù),結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪,那么,指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪.提出問題（1）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時,必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)?（2）無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢?（3）你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎?活動：教師組織學(xué)生互助合作,交流探討,引導(dǎo)他們用反例說明問題,注意類比,歸納.對問題（1）回顧我們學(xué)習分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定,舉例說明.對問題（2）結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則,既然無理數(shù)指數(shù)冪a（a>0,是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù),那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應(yīng)當與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似,并且相通.對問題（3）有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則,實數(shù)的運算法則自然就得到了.討論結(jié)果：（1）底數(shù)大于零的必要性,若a=-1,那么a是+1還是-1就無法確定了,這樣就造成混亂,規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后,無理數(shù)指數(shù)冪a是一個確定的實數(shù),就不會再造成混亂.（2）因為無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù),所以能進行指數(shù)的運算,也能進行冪的運算,有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪.類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則:aras=ar+s(a>0,r,s都是無理數(shù)).(ar)s=ars(a>0,r,s都是無理數(shù)).(ab)r=arbr(a>0,b>0,r是無理數(shù)).（3）指數(shù)冪擴充到實數(shù)后,指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì):aras=ar+s(a>0,r,sR).(ar)s=ars(a>0,r,sR).(ab)r=arbr(a>0,b>0,rR).應(yīng)用示例思路1例1利用函數(shù)計算器計算.（精確到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.活動：教師教會學(xué)生利用函數(shù)計算器計算,熟悉計算器的各鍵的功能,正確輸入各類數(shù),算出數(shù)值,對于（1）,可先按底數(shù)0.3,再按鍵,再按冪指數(shù)2.1,最后按,即可求得它的值；對于（2）,先按底數(shù)3.14,再按鍵,再按負號鍵,再按3,最后按即可;對于(3),先按底數(shù)3.1,再按鍵,再按34,最后按即可;對于（4）,這種無理指數(shù)冪,可先按底數(shù)3,其次按鍵,再按鍵,再按3,最后按鍵.有時也可按或鍵,使用鍵上面的功能去運算.學(xué)生可以相互交流,挖掘計算器的用途.答案：（1）0.32.10.080;（2）3.14-30.032;（3）3.12.336;（4）6.705.點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟,感受現(xiàn)代技術(shù)的威力,逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值,若保留小數(shù)點后n位,只需看第（n+1）位能否進位即可.例2求值或化簡.(1)(a>0,b>0);(2)()(a>0,b>0);(3).活動：學(xué)生觀察,思考,所謂化簡,即若能化為常數(shù)則化為常數(shù),若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達到最簡,對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子,應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,便于運算,教師有針對性地提示引導(dǎo),對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪,要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì),對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式,應(yīng)當統(tǒng)一起來,化為分數(shù)指數(shù)冪,對(3)有多重根號的式子,應(yīng)先去根號,這里是二次根式,被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方,這樣,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并對學(xué)生作及時的評價,注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律.解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.點評：根式的運算常?；蓛绲倪\算進行,計算結(jié)果如沒有特殊要求,就用根式的形式來表示.(2)()=aabb=a0b0=.點評：化簡這類式子一般有兩種辦法,一是首先用負指數(shù)冪的定義把負指數(shù)化成正指數(shù),另一個方法是采用分式的基本性質(zhì)把負指數(shù)化成正指數(shù).(3) =-+2-2+=0.點評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù),千萬注意方根的性質(zhì)的運用.例3已知x=(5-5),nN*,求(x+)n的值.活動：學(xué)生思考,觀察題目的特點,從整體上看,應(yīng)先化簡,然后再求值,要有預(yù)見性,5與5具有對稱性,它們的積是常數(shù)1,為我們解題提供了思路,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時給予提示.x2=(5-5)2=(5-250+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.這時應(yīng)看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,這樣先算出1+x2,再算出,帶入即可.解：將x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=(5-5)+n=(5-5)+(5+5)n=(5)n=5.點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵,要深刻理解這種做法.思路2例1計算:(1);(2)125+()-2+343-();(3)(-2xy)(3xy)；(4)(x-y)(x-y).活動：學(xué)生觀察、思考,根式化成分數(shù)指數(shù),利用冪的運算性質(zhì)解題,另外要注意整體的意識,教師有針對性的提示引導(dǎo),對(1)根式的運算常?；蓛绲倪\算進行,對(2)充分利用指數(shù)冪的運算法則來進行,對(3)則要根據(jù)單項式乘法和冪的運算法則進行,對(4)要利用平方差公式先因式分解,并對學(xué)生作及時的評價.解：(1)=()+()+(0.062 5)+1-=()2+()+(0.5)+=+0.5+=5;(2)125+()-2+343-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-23)(xxyy)=-6xy=;(4)(x-y)(x-y)=(x)2-(y)2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=x+y.點評：在指數(shù)運算中,一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式.例2化簡下列各式:(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)(a4+a-4+1)(a-a-1).活動：學(xué)生觀察式子的特點,特別是指數(shù)的特點,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮題目的思路,這兩題要注意分解因式,特別是立方和和立方差公式的應(yīng)用,對有困難的學(xué)生及時提示:對(1)考查x2與x的關(guān)系可知x2=(x)3,立方關(guān)系就出來了,公式便可運用,對(2)先利用平方差,再利用冪的乘方轉(zhuǎn)化為立方差,再分解因式,組織學(xué)生討論交流.解：(1)原式=;(2)原式=(a3)2-(a-3)2(a4+a-4+1)(a-a-1)=a+a-1.點評：注意立方和立方差公式在分數(shù)指數(shù)冪當中的應(yīng)用,因為二項和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而對立方和立方差公式卻一般不易觀察到,a=(a)3還容易看出,對其中夾雜的數(shù)字m可以化為maa=m,需認真對待,要在做題中不斷地提高靈活運用這些公式的能力.知能訓(xùn)練課本P59習題2.1A組 3.利用投影儀投射下列補充練習:1.化簡:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的結(jié)果是( )A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2)分析:根據(jù)本題的特點,注意到它的整體性,特別是指數(shù)的規(guī)律性,我們可以進行適當?shù)淖冃?因為(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),依次類推,所以=(1-2)-1.答案：A2.計算(2)0.5+0.1-2+(2)-30+9-0.5+490.52-4.解：原式=()+100+()-3+49=+100+-3+=100.3.計算(a1).解：原式=(a1).本題可以繼續(xù)向下做,去掉絕對值,作為思考留作課下練習.4.設(shè)a>0,x=(a-a),則(x+)n的值為_.分析:從整體上看,應(yīng)先化簡,然后再求值,這時應(yīng)看到解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.這樣先算出1+x2,再算出,將x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.所以(x+)n=(a-a)+(a+a)2n=(a-a)+(a+a)n=a.答案：a拓展提升參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程,請你說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無理數(shù)指數(shù)冪5的意義的過程,利用計算器計算出3的近似值,取它的過剩近似值和不足近似值,根據(jù)這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意義,學(xué)生合作交流,在投影儀上展示自己的探究結(jié)果.解：3=1.73205080,取它的過剩近似值和不足近似值如下表.的過剩近似值的過剩近似值的不足近似值的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.3172781831.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.32xx2521.732043.32197221.73xx3.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.732050793.321997045我們把用2作底數(shù),的不足近似值作指數(shù)的各個冪排成從小到大的一列數(shù)21.7,21.72,21.731,21.7319,同樣把用2作底數(shù), 的過剩近似值作指數(shù)的各個冪排成從大到小的一列數(shù):21.8,21.74,21.733,21.7321,不難看出的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多,即3的近似值精確度越高,以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2會越來越趨近于同一個數(shù),我們把這個數(shù)記為.即21.7<21.73<21.731<21.7319<<<<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是說是一個實數(shù),=3.321 997 也可以這樣解釋:當3的過剩近似值從大于的方向逼近時,的近似值從大于的方向逼近；當3的不足近似值從小于的方向逼近時,的近似值從小于的方向逼近.所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.7319,和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.7321,按上述規(guī)律變化的結(jié)果,即3.321 997.課堂小結(jié)(1)無理指數(shù)冪的意義.一般地,無理數(shù)指數(shù)冪a（a>0,是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù).(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì):aras=ar+s(a>0,r,sR).(ar)s=ars(a>0,r,sR).(ab)r=arbr(a>0,b>0,rR).(3)逼近的思想,體會無限接近的含義.作業(yè)課本P60習題2.1 B組 2.設(shè)計感想無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充,教學(xué)中要讓學(xué)生通過多媒體的演示,理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義,教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過實際情況去探索,自己得出結(jié)論,加深對概念的理解,本堂課內(nèi)容較為抽象,又不能進行推理,只能通過多媒體的教學(xué)手段,讓學(xué)生體會,特別是逼近的思想、類比的思想,多作練習,提高學(xué)生理解問題、分析問題的能力.