2019-2020年高中數學1.3 算法案例教案2 新人教A版必修3導入新課 思路1（情境導入） 大家都喜歡吃蘋果吧，我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃，而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃，由此看來處理同一個問題的方法多種多樣.怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當x=5時的值呢？方法也是多種多樣的，今天我們開始學習秦九韶算法. 思路2（直接導入） 前面我們學習了輾轉相除法與更相減損術， 今天我們開始學習秦九韶算法.推進新課新知探究提出問題（1）求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當x=5時的值有哪些方法？比較它們的特點.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎樣評價一個算法的好壞？討論結果：（1）怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當x=5時的值呢？ 一個自然的做法就是把5代入多項式f(x)，計算各項的值，然后把它們加起來，這時，我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運算，5次加法運算. 另一種做法是先計算x2的值，然后依次計算x2x，（x2x）x，（x2x）x）x的值，這樣每次都可以利用上一次計算的結果，這時，我們一共做了4次乘法運算，5次加法運算. 第二種做法與第一種做法相比，乘法的運算次數減少了，因而能夠提高運算效率，對于計算機來說，做一次乘法運算所用的時間比做一次加法運算要長得多，所以采用第二種做法，計算機能更快地得到結果.（2）上面問題有沒有更有效的算法呢？我國南宋時期的數學家秦九韶（約12021261）在他的著作數書九章中提出了下面的算法： 把一個n次多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改寫成如下形式：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+a1）x+ a0=（anxn-2+an-1xn-3+a2）x+a1)x+a0=（anx+an-1）x+an-2）x+a1）x+a0.求多項式的值時，首先計算最內層括號內一次多項式的值，即v1=anx+an-1，然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，vn=vn-1x+a0，這樣，求n次多項式f（x）的值就轉化為求n個一次多項式的值.上述方法稱為秦九韶算法.直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進的算法.（3）計算機的一個很重要的特點就是運算速度快，但即便如此，算法好壞的一個重要標志仍然是運算的次數.如果一個算法從理論上需要超出計算機允許范圍內的運算次數，那么這樣的算法就只能是一個理論的算法.應用示例例1 已知一個5次多項式為f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求這個多項式當x=5時的值.解：根據秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照從內到外的順序，依次計算一次多項式當x=5時的值：v0=5；v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以，當x=5時，多項式的值等于17 255.2.算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個一次式，可見vk的計算要用到vk-1的值，若令v0=an，我們可以得到下面的公式：這是一個在秦九韶算法中反復執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結構來實現.算法步驟如下：第一步，輸入多項式次數n、最高次的系數an和x的值.第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1.第三步，輸入i次項的系數ai.第四步，v=vx+ai,i=i-1.第五步，判斷i是否大于或等于0.若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值v.程序框圖如下圖：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND點評：本題是古老算法與現代計算機語言的完美結合，詳盡介紹了思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個典型的算法案例.變式訓練 請以5次多項式函數為例說明秦九韶算法，并畫出程序框圖.解：設f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，讓我們以5次多項式一步步地進行改寫：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分層計算,只用了小括號，計算時，首先計算最內層的括號，然后由里向外逐層計算，直到最外層的括號，然后加上常數項即可.程序框圖如下圖：例2 已知n次多項式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an，如果在一種算法中，計算（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計算P3(x0)的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算P10(x0)的值共需要_次運算.下面給出一種減少運算次數的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k0，1，2，n1）利用該算法，計算P3(x0)的值共需要6次運算，計算P10(x0)的值共需要_次運算.答案：65 20點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運算的次數最多可到達，加法最多n次.秦九韶算法通過轉化把乘法運算的次數減少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多項式函數f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求當x=5時的函數的值.解析：把多項式變形為：f(x)=2x55x44x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7.計算的過程可以列表表示為：最后的系數2 677即為所求的值.算法過程：v0=2；v1=255=5；v2=554=21；v3=215+3=108；v4=10856=534；v5=5345+7=2 677.點評：如果多項式函數中有缺項的話，要以系數為0的項補齊后再計算.知能訓練當x=2時，用秦九韶算法求多項式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值解法一：根據秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照從內到外的順序，依次計算一次多項式當x=2時的值.v0=3;v1=v02+8=32+8=14;v2=v12-3=142-3=25;v3=v22+5=252+5=55;v4=v32+12=552+12=122;v5=v42-6=1222-6=238.當x=2時，多項式的值為238.解法二：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，則f(2)=(32+8)23)2+5)2+12)26238拓展提升 用秦九韶算法求多項式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x當x=3時的值.解：f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=73+6=27；v2=273+5=86；v3=863+4=262；v4=2623+3=789；v5=7893+2=2 369；v6=2 3693+1=7 108；v7=7 1083+0=21 324.f(3)=21 324.課堂小結1.秦九韶算法的方法和步驟.2.秦九韶算法的計算機程序框圖.作業(yè)已知函數f(x)=x32x25x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=(x2)x5)x+8 f(9)=(92)95)9+8=530.設計感想 古老的算法散發(fā)濃郁的現代氣息，這是一節(jié)充滿智慧的課.本節(jié)主要介紹了秦九韶算法. 通過對秦九韶算法的學習，對算法本身有哪些進一步的認識？ 教師引導學生思考、討論、概括，小結時要關注如下幾點：（1）算法具有通用的特點，可以解決一類問題；（2）解決同一類問題，可以有不同的算法，但計算的效率是不同的，應該選擇高效的算法；（3）算法的種類雖多，但三種邏輯結構可以有效地表達各種算法等等.