2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 10.導(dǎo)數(shù)教案 新人教A版1、導(dǎo)數(shù)的背景：（1）切線的斜率；（2）瞬時(shí)速度. 如一物體的運(yùn)動(dòng)方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為_（答：5米/秒）2、導(dǎo)函數(shù)的概念：如果函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于開區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù) ，這樣在開區(qū)間（a,b）內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)， 記作 ，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)。提醒：導(dǎo)數(shù)的另一種形式如（1）* 在處可導(dǎo)，則 解： 在處可導(dǎo)，必連續(xù) （2）*已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限：（1）； （2）分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：（1） （2） 說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式?？梢宰C明：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)3、求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的改變量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。也可（1）求，（2）.4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，相應(yīng)地切線的方程是。特別提醒：（1）在求曲線的切線方程時(shí)，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點(diǎn)處的切線(只有當(dāng)此點(diǎn)在曲線上時(shí)，此點(diǎn)處的切線的斜率才是)，還是過某點(diǎn)的切線：曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條，而過某點(diǎn)的切線不一定只有一條，即使此點(diǎn)在曲線上也不一定只有一條切線，也未必和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）求過某一點(diǎn)的切線方程時(shí)也是通過切點(diǎn)坐標(biāo)來求。如（1）P在曲線上移動(dòng)，在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_（答：）；（2）直線是曲線的一條切線,則實(shí)數(shù)的值為_（答：3或1）；（4）曲線在點(diǎn)處的切線方程是_（答：）；（5）已知函數(shù)，又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于。求的值；求過點(diǎn)的曲線的切線方程（答：1；或）。5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則： 6.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: （1）常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）；（2），與此有關(guān)的如下：； 7.（理科）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。如（1）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則_（答：）；（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_（答：）；（3）若對(duì)任意，則是_（答：）8、函數(shù)的單調(diào)性：（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系若,則為增函數(shù)；若,則為減函數(shù)；若恒成立,則為常數(shù)函數(shù)；若的符號(hào)不確定,則不是單調(diào)函數(shù)。可導(dǎo)函數(shù)yf（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，則，反之等號(hào)不成立（等號(hào)不恒成立時(shí)，反過來就成立）；若函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，則，反之等號(hào)不成立（等號(hào)不恒成立時(shí)，反過來就成立）。提醒：導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性可用于求函數(shù)值域，證明不等式（不等式一端化為0）如（1）函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性是_（答：增函數(shù)）；（2）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是_（答：）；（4）已知，設(shè)，試問是否存在實(shí)數(shù)，使在上是減函數(shù)，并且在上是增函數(shù)？（答：）（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）求（注意定義域）；（2）求方程的根，設(shè)根為；（3）將給定區(qū)間分成n+1個(gè)子區(qū)間（在此有一個(gè)比較根的大小問題），再在每一個(gè)子區(qū)間內(nèi)判斷的符號(hào)，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性。如設(shè)函數(shù)在處有極值，且，求的單調(diào)區(qū)間。（答：遞增區(qū)間（1,1），遞減區(qū)間）（3）利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定參變數(shù)（已知函數(shù)的單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為恒成立7、函數(shù)的極值：（1）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近所有的點(diǎn)，都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極大值。記作，如果對(duì)附近所有的點(diǎn)，都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極小值。記作。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。（2）求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的極值的步驟：（i）求導(dǎo)數(shù)；（ii）求方程的根；（iii）檢查在方程的根的左右的符號(hào)：“左正右負(fù)”在處取極大值；“左負(fù)右正”在處取極小值。注：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn)， 特別提醒：（1）是極值點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不僅是0，0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點(diǎn)一定要切記！ （3）第二步中蘊(yùn)含著比較根的大小問題，第三步中通常總結(jié)成表.如（1）函數(shù)的極值點(diǎn)A.極大值點(diǎn) B.極大值點(diǎn) C.極小值點(diǎn) D.極小值點(diǎn)（答：C）；（2）已知函數(shù)有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答：或）；（3）函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為_（答：7）；（4）已知函數(shù)在區(qū)間1,2 上是減函數(shù)，那么bc有最_值_（答：大，）8、函數(shù)的最大值和最小值：（1）定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”。（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在（）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與，比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。注：第一步中其實(shí)不必求出極值，只要找到導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)處的函數(shù)值即可；閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值如（1）函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是_（答：5；）；（2）用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m。那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積。（答：高為1.2米時(shí)，容積最大為）特別注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時(shí)，要注意列表?。?）要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值)，研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)Obaxy問題。如（1）是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是 ( 答：D )ObaxyObaxyB、A、ObaxyObaxyC、D、（2）方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為_（答：1）；（3）已知函數(shù)，拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在拋物線的上方，求的取值范圍（答：）。9.定積分(1) 定積分的定義：分割近似代替求和取極限(2)定積分幾何意義：表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì)：(4)求定積分的方法：定義法：分割近似代替求和取極限利用定積分幾何意義微積分基本定理