2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 13.數(shù)列教案 新人教A版1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_(kāi)（答：）；（2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_(kāi)（答：）；（3）已知數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；（4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（）（答：A） A B C D2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法：或。 公式法：通項(xiàng)；前項(xiàng)和.如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列.提醒：解答題多用定義法.（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或.通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，以（n,an）為坐標(biāo)的一群離散點(diǎn)均勻地分布在直線上. 公差d=是相應(yīng)直線的斜率.當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列遞增；當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列遞減；當(dāng)d=0時(shí)，an為常數(shù)數(shù)列. 提醒：時(shí)，可用來(lái)快速求公差.如(1)等差數(shù)列中，則通項(xiàng)（答：）；（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：）（3）等差數(shù)列an中，若，則（答：0）（3）等差數(shù)列的前和：，.從函數(shù)的角度理解，Sn=na1+d變形為Sn= n2+(a1-)n，當(dāng)d0時(shí)是n的二次函數(shù)（缺常數(shù)項(xiàng)），它的圖象是過(guò)原點(diǎn)的拋物線上的一群孤立點(diǎn).點(diǎn)（n，）在一條直線上，此時(shí)，可以應(yīng)用相應(yīng)二次函數(shù)的圖象了解Sn的增減變化及最值等問(wèn)題。當(dāng)d=0時(shí)，an是常數(shù)列，Sn=na1,此時(shí)，若a10,則Sn是關(guān)于n的一次式；若a1=0,則Sn=0。如（1）數(shù)列 中，前n項(xiàng)和，則，（答：，）；（2）等差數(shù)列an中，若，則.（答：）（3）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）.（4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）.（3）任何兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng).3.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.提醒：可設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前和公式.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）等差數(shù)列中，則_（答：27）；（2）在等差數(shù)列中，且，是其前項(xiàng)和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 .（答：225）（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（這里即）；。如（1）在等差數(shù)列中，S1122，則_（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_（答：）(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列中，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）(8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 提醒：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法：，其中或公式法：通項(xiàng)；時(shí)，前n項(xiàng)和可寫(xiě)成如（1）一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_(kāi)（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。提醒：解答題多用定義法.（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。當(dāng)q>0且q1時(shí)，是指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此 的圖象是函數(shù)y=的圖象上的一群孤立點(diǎn)很明顯，若>0,當(dāng)q>1時(shí)，數(shù)列遞增；當(dāng)0<q<1時(shí)，數(shù)列遞減提醒：可用來(lái)求公比.如設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和公比. （答：，或2）（3）等比數(shù)列的前和：如（1）等比數(shù)列中，2，S99=77，求（答：44）；（2）的值為_(kāi)（答：2046）；提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解（4）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_(kāi)（答：AB）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（）在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）(2) 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則. （答：）；（2）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)（答：40）(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）(5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)（答：2）(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列這些命題中，真命題的序號(hào)是 （答：）6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列試寫(xiě)出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如（）已知的前項(xiàng)和滿足，求（答：）；（）數(shù)列滿足，求解：（i）令時(shí)，（ii） （1）（2）（1）（2）得：，即所以提醒：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（只有時(shí)，才有，當(dāng)時(shí)，；注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨(dú)列出）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列滿足，求（答：）已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則_（答：）若求用累加法：。如已知數(shù)列滿足，則=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求（答：）已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如：（為p,q為常數(shù)且）的數(shù)列（）可化為，利用等比數(shù)列求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出（）可由得兩式相減可得：，利用成等比數(shù)列求出，再利用迭代或迭加求出（） ,先用累加法求再求如已知，求（答：）；（）形如（為常數(shù)）也可通過(guò)類似方式來(lái)求得.更一般地，遞推數(shù)列an=kan1+f（n）（k0,k1）（f（n）為等比或等差）還可由an=kan1+b派生出an+1=kan+b，兩式相減得：an+1-an=k（an- an-1）依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式（這是二階線性遞歸數(shù)列an+1+pan+qan1=0的解法），從而形如的數(shù)列可變形為就是則可從，解得于是是公比為的等比數(shù)列.如（）數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：在兩邊減去得是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，令上式，再把個(gè)等式累加得:=.（）已知，求（答：）；（）形如（）（為常數(shù)且）的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。可化為=求出的表達(dá)式，再求如（）已知，求（答：）；（）已知數(shù)列滿足=1，求（答：）這種類型還有如：可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成為形式解決；又如已知數(shù)列中且，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式可采用兩邊取對(duì)數(shù)方法即則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（）猜想歸納證明（數(shù)學(xué)歸納法）與自然數(shù)有關(guān)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)特征，其步驟是：（1）驗(yàn)證命題對(duì)于第一個(gè)自然數(shù)nn0 (kn0)時(shí)成立；(2)假設(shè)n =k時(shí)成立，從而證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，（3）得出結(jié)論。注：（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可。（2）在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要注意起點(diǎn) n，并非一定取 1，也可能取 0，2 等值，要看清題目 .（3）第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由 k 到 k+ 1 時(shí)命題變化情況 .證明時(shí)要一湊假設(shè)，二湊結(jié)論；7.數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；常用公式：，.如（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_（答：）（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 如求：（答：）（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如求證：；已知，則_（答：）一般地，,（an為等差數(shù)列）可通過(guò)此法來(lái)求. 提醒：觀察通項(xiàng)、 注意首項(xiàng)、 點(diǎn)清項(xiàng)數(shù)；（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）：兩邊同乘以公比錯(cuò)位相減（但要區(qū)分公比是否為1）. 如（1）設(shè)為等比數(shù)列，已知，求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答：，；）；（2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并比較與的大小。（答：略；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，<；當(dāng)時(shí)，>）（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：； ；， ；.如（1）求和： （答：）；（2）在數(shù)列中，且S，則n_（答：99）；（3）等差數(shù)列an的公差d（d0），則.的求和也可用此法.（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。如（）求數(shù)列14，25，36，前項(xiàng)和= （答：）；（）求和： （答：）8. “分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問(wèn)題(1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.但在求解過(guò)程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問(wèn)題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.(2)利率問(wèn)題：?jiǎn)卫麊?wèn)題：如零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：（等差數(shù)列問(wèn)題）；復(fù)利問(wèn)題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足： （等比數(shù)列問(wèn)題）. p貸款數(shù)，r利率，n還款期數(shù)