2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識精要 19.統(tǒng)計教案 新人教A版1.抽樣方法：(1)簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特征是從總體中逐個抽取；（2）系統(tǒng)抽樣也叫等距離抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；（3）分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同點：每個個體被抽到的概率都相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。如（1）某社區(qū)有500個家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95。為了調(diào)查社會購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本，把這種抽樣記為A；某中學(xué)高中一年級有12名女排運動員，要從中選取3人調(diào)查學(xué)習(xí)負擔(dān)的情況，把這種抽樣記為B，那么完成上述兩項調(diào)查應(yīng)分別采用的抽樣方法：A為_，B為_。（答：分層抽樣，簡單隨機抽樣）；（3）某中學(xué)有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生300人，高三學(xué)生300人，現(xiàn)通過分層抽樣抽取一個容量為n的樣本，已知每個學(xué)生被抽到的概率為0.2，則n= _（答：200）；（4）容量為100的樣本拆分成10組，前7組的頻率之和為0.79，而剩下的三組的頻數(shù)組成等比數(shù)列，且其公比不為1，則剩下的三組中頻數(shù)最大的一組的頻率是_（答：0.16）；（5）用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為2的樣本，則某一個體“第一次被抽到的概率”，“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”，“在整個抽樣過程中被抽到的概率”分別是_（答：）；2.總體分布的估計：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法，即用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)（即總體期望值描述一個總體的平均水平）；用樣本方差估計總體方差（方差和標準差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，方差或標準差越小，表示這個樣本或總體的波動越小，即越穩(wěn)定）。一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確?？傮w估計要掌握：(1)“表”(頻率分布表)；（2）“圖”(頻率分布直方圖)。頻率分布直方圖的特征：（1）從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢。（2）從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。頻率直方圖的作法： （1）算數(shù)據(jù)極差 （2）決定組距和組數(shù)； （3）決定分點； （4）列頻率分布表； （5）畫頻率直方圖。 提醒：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率。組數(shù)的決定方法是：設(shè)數(shù)據(jù)總數(shù)目為n，時，分為組；時，分為組.如（1）一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下： (10,20,2；(20,30,3；(30,40,4；(40,50,5；(50,60,4；(60,70,2；則樣本在區(qū)間上的頻率為A5% B25% C50% D70%（答：D）；（2）已知樣本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 ，那么頻率為0.3的范圍是A5.57.5 B7.59.5 C9.511.5 D11.513.5（答：B）；（3）觀察新生兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生兒的體重在2700，3000的頻率為_（答：0.3）；O240027003600330030003900體重(g)0.001（4）如圖,是一次數(shù)學(xué)考試成績的樣本頻率分布直方圖（樣本容量n=200），若成績不低于60分為及格，則樣本中的及格人數(shù)是_（答：120）； 分數(shù)頻率/組距0204060801000.0180.0120.0090.0060.005(5) 有同一型號的汽車100輛,為了解這種汽車每蠔油1L所行路程的情況,現(xiàn)從中隨即抽出10輛在同一條件下進行蠔油1L所行路程實驗,得到如下樣本數(shù)據(jù)（單位:km）:13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分組如下:分組頻數(shù)頻率12.45,12.95）12.95,13.45）13.45,13.95）13.95,14.45）合計101.0（1）完成上面頻率分布表；（2）根據(jù)上表,在給定坐標系中畫出頻率分布直線圖,并根據(jù)樣本估計總體數(shù)據(jù)落在12.95,13.95）中的概率；（3）根據(jù)樣本,對總體的期望值進行估計解：（1）頻率分布表：分組頻數(shù)頻率12.45,12.95）20.212.95,13.45）30.313.45,13.95）40.413.95,14.45）10.1合計101.0（2）頻率分布直方圖：估計總體數(shù)據(jù)落在12.95,13.95）中的概率為0.7（3）13.4因此，總體的期望值進行估計約為13.4. (6)為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)次測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.90100110120130140150次數(shù)o0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028頻率/組距0.0320.036(1) 第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2) 若次數(shù)在110以上（含110次）為達標，試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達標率是多少？(3) 在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由。分析：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：又因為頻率=,所以 （2）由圖可估計該學(xué)校高一學(xué)生的達標率約為（3）由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)。3、樣本平均數(shù)： 。如有一組數(shù)據(jù)：x1,x2,xn(x1x2xn)，它們的算術(shù)平均值為20，若去掉其中的xn，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為18，則xn關(guān)于n的表達式為 （答：）。4、樣本方差：；樣本標準差：。如（1）甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的應(yīng)是 （答：甲）；（2）已知實數(shù)的期望值為，方差為，若，則一定有 A B C D與無法比較大小（答：B）；（3）某班40人隨機平均分成兩組，兩組學(xué)生一次考試的成績情況如下表： 統(tǒng)計量組別平均分方差第1組8016第2組9036 則全班的平均分為_，方差為_（答：85,51）提醒：若的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)為，方差為。如已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差分別為 A15，36 B22，6 C15，6 D22，36 （答：B）5.莖葉圖(1) 莖葉圖的畫法：將每個數(shù)據(jù)分為莖（高位）與葉（低位）兩部分，將最大莖和最小莖之間的數(shù)按大小順序排成一列，將各數(shù)據(jù)的葉依先后次序?qū)懺谄淝o的左（右）兩側(cè).(2)莖葉圖的特征：（）用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。（）莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰。6. 獨立性檢驗獨立性檢驗是檢定兩個事件間是否獨立的統(tǒng)計方法，是卡方檢驗的一個應(yīng)用. 卡方檢驗是對樣本的頻數(shù)分布所來自的總體分布是否服從某種理論分布或某種假設(shè)分布所作的假設(shè)檢驗.即根據(jù)樣本的頻數(shù)分布來推斷總體的分布，卡方獨立性檢驗的零假設(shè)是各事件之間相互獨立.卡方值永遠大于零. 2的兩個臨界值分別是3.841，與6.635.3.841時，接受假設(shè)即兩事件無關(guān).相關(guān)系數(shù)是測定變量之間相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的代表性指標。相關(guān)系數(shù)用符號“r ”表示，其特點表現(xiàn)在：參與相關(guān)分析的兩個變量是對等的，不分自變量和因變量，改變兩變量的地位并不影響相關(guān)系數(shù)的數(shù)值，因此相關(guān)系數(shù)只有一個；相關(guān)系數(shù)有正負號反映相關(guān)系數(shù)的方向，正號反映正相關(guān)，負號反映負相關(guān)； 回歸和相關(guān)都是研究兩個變量相互關(guān)系的分析方法。相關(guān)分析研究兩個變量之間相關(guān)的方向和相關(guān)的密切程度。但是相關(guān)分析不能指出兩變量相互關(guān)系的具體形式，也無法從一個變量的變化來推測另一個變量的變化關(guān)系?；貧w方程則是通過一定的數(shù)學(xué)方程來反映變量之間相互關(guān)系的具體形式，以便從一個已知量來推測另一個未知量。為估算預(yù)測提供一個重要的方法。相關(guān)性檢驗的步驟是：(1)做統(tǒng)計假設(shè)：x與Y不具備線性相關(guān)關(guān)系.(2)根據(jù)小概率0.05與查出r的一個臨界值.（3）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)公式計算出r的值.（4）作統(tǒng)計推斷：如果表明95%的把握認為x與Y之間具備線性相關(guān)關(guān)系，如果接受假設(shè).提醒：A與B有關(guān)并不意味著A的發(fā)生必然導(dǎo)致B的發(fā)生.7.回歸分析回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個或兩個以上變量之間數(shù)量變化的一般關(guān)系進行測定，確定一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式，以便從一個已知量來推測另一個未知量，為估計預(yù)測提供一個重要的方法。在回歸分析中，由X推算Y與由Y推算X的回歸方程是不同的，不可混淆: .與相關(guān)分析相比，回歸分析的特點是：兩個變量是不對等的，只能用自變量來估計因變量，而不允許由因變量來推測自變量,必須區(qū)分自變量,一般說，事物的原因作自變量X.回歸分析和相關(guān)分析是互相補充、密切聯(lián)系的。相關(guān)分析需要回歸分析來表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則應(yīng)該建立在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上。依靠相關(guān)分析表明現(xiàn)象的數(shù)量變化具有密切相關(guān)，進行回歸分析求其相關(guān)的具體形式才有意義。如（1）在研究色盲與性別的關(guān)系調(diào)查中，調(diào)查了男性480人，其中有38人患色盲，調(diào)查的520個女性中6人患色盲，（1）根據(jù)以上的數(shù)據(jù)建立一個22的列聯(lián)表；（2）若認為“性別與患色盲有關(guān)系”，則出錯的概率會是多少解：（1）患色盲不患色盲總計男38442480女6514520總計449561000 （2）假設(shè)H ：“性別與患色盲沒有關(guān)系” 先算出K 的觀測值： 則有 即是H 成立的概率不超過0.001, 若認為“性別與患色盲有關(guān)系”，則出錯的概率為0.001（2）一臺機器使用的時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少，隨機器的運轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y（件）11985（1）畫出散點圖（2）如果y對x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程； （3）若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為10個，那么機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？答案：（2）y=0.7286x-0.8571 （3）x小于等于14.9013