2019-2020年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案充要條件的理解及判定方法 蘇教版 重難點歸納 (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假 (2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等 (3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì) (4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件 (5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性) 典型題例示范講解 例1已知p|1－|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍 命題意圖 本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點的靈活性 知識依托 本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了 錯解分析 對四種命題以及充要條件的定義實質(zhì)理解不清晰是解此題的難點，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難 技巧與方法 利用等價命題先進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決 解由題意知 命題若?p是?q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為p是q的充分不必要條件 p:|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10 q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 * ∵p是q的充分不必要條件， ∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集 又∵m>0 ∴不等式*的解集為1－m≤x≤1+m ∴，∴m≥9， ∴實數(shù)m的取值范圍是［9，+∞ 例2已知數(shù)列{an}的前n項Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件 命題意圖 本題重點考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性 知識依托 以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點在于抓住數(shù)列前n項和與通項之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定 錯解分析 因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明 技巧與方法 由an=關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時要注意充分性的證明 解a1=S1=p+q 當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1) ∵p≠0,p≠1,∴=p 若{an}為等比數(shù)列，則=p ∴=p, ∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1 這是{an}為等比數(shù)列的必要條件 下面證明q=－1是{an}為等比數(shù)列的充分條件 當(dāng)q=－1時，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1 當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1) ∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1) =p為常數(shù) ∴q=－1時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=－1 例3已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α、β， 證明|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件 證明(1）充分性由韋達(dá)定理，得|b|=|αβ|=|α||β|＜22=4 設(shè)f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線 又|α|＜2,|β|＜2,∴f(2)>0 即有4+b>2a>－(4+b) 又|b|＜44+b>02|a|＜4+b (2)必要性 由2|a|＜4+bf(2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線 ∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內(nèi)或無實根 ∵α，β是方程f(x)=0的實根， ∴α，β同在(－2，2）內(nèi)，即|α|＜2且|β|＜2 例4 寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假. （1）若x、y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)； （2）若xy=0，則x=0或y=0； （3）若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù). 解：（1）命題的否定：x、y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，為假命題. 原命題的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題. （2）命題的否定：xy=0則x≠0且y≠0，為假命題. 原命題的否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0，是真命題. （3）命題的否定：一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，是假命題. 原命題的否命題：若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，為假命題. 例5 有A、B、C三個盒子，其中一個內(nèi)放有一個蘋果，在三個盒子上各有一張紙條. A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內(nèi)”， B盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內(nèi)”， C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在A盒內(nèi)”. 如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？ 解：若蘋果在A盒內(nèi)，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意. 若蘋果在B盒內(nèi)，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在B盒內(nèi). 同樣，若蘋果在C盒內(nèi)，則B、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意. 綜上，蘋果在B盒內(nèi). 學(xué)生鞏固練習(xí) 1函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( ) Aab=0 Ba+b=0 Ca=b Da2+b2=0 2 “a=1”是函數(shù)y=cos2ax－sin2ax的最小正周期為“π”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既非充分條件也不是必要條件 3 a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的___ 4命題A兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點P(x0,y0),命題B曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數(shù))過點P(x0,y0),則A是B的__________條件 5設(shè)α，β是方程x2－ax+b=0的兩個實根，試分析a>2且b>1是兩根α、β均大于1的什么條件？ 6已知數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=,求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列 7已知拋物線Cy=－x2+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件 8 p:－2<m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根，試分析p是q的什么條件(充要條件) 參考答案 1解析若a2+b2=0,即a=b=0, 此時f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x) ∴a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0 ∴a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件 答案 D 2解析若a=1,則y=cos2x－sin2x=cos2x,此時y的最小正周期為π故a=1是充分條件，反過來，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax故函數(shù)y的最小正周期為π,則a=1,故a=1不是必要條件 答案 A 3解析當(dāng)a=3時，直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0 ∵l1與l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1, 即C1≠C2,∴a=3l1∥l2 答案 充要條件 4解析若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點， 則F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，過P(x0,y0); 反之不成立 答案充分不必要 5解根據(jù)韋達(dá)定理得a=α+β,b=αβ 判定的條件是p:，結(jié)論是q: (注意p中a、b滿足的前提是Δ=a2－4b≥0) (1)由，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴qp (2)為證明pq,可以舉出反例取α=4,β=,它滿足a=α+β=4+>2,b=αβ=4=2>1,但q不成立 綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件 6證明①必要性 設(shè){an}成等差數(shù)列，公差為d,∵{an}成等差數(shù)列 　　 從而bn+1－bn=a1+nd－a1－(n－1) d=d為常數(shù) 故{bn}是等差數(shù)列，公差為d ②充分性: 設(shè){bn}是等差數(shù)列，公差為d′,則bn=(n－1)d′ ∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ① bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ② ①－②得nan=bn－1 從而得an+1－an=d′為常數(shù)，故{an}是等差數(shù)列 綜上所述，數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列 7解 ①必要性 由已知得，線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3) 由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點， 所以方程組*有兩個不同的實數(shù)解 消元得x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3) 設(shè)f(x)=x2－(m+1)x+4,則有 　　 ②充分性 當(dāng)3＜x≤時， x1=>0 ∴方程x2－(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程組*有兩組不同的實數(shù)解 因此，拋物線y=－x2+mx－1和線段AB有兩個不同交點的充要條件是 3＜m≤ 8解 若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根，設(shè)為x1,x2 則0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1, 根據(jù)韋達(dá)定理 有－2＜m＜0;0＜n＜1即有qp 反之，取m=－＜0 方程x2+mx+n=0無實根，所以pq 綜上所述，p是q的必要不充分條件 課前后備注 　 1.已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：依題意有pr，rs，sq，∴prsq.但由于rp，∴qp. 答案：A 2. “cos2α=－”是“α=kπ+，k∈Z”的 A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 解析：cos2α=－2α=2kπα=kπ. 答案：A 3.在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：在△ABC中，A＞BcosA＜cosB（余弦函數(shù)單調(diào)性）. 答案：C 4.命題A：兩曲線F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于點P（x0，y0），命題B：曲線F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ為常數(shù)）過點P（x0，y0），則A是B的__________條件. 答案：充分不必要 5.函數(shù)f（x）=x2－2ax－3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是 A.a∈（－∞，1］ B.a∈［2，+∞） C.α∈［1，2］ D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：∵f（x）=x2－2ax－3的對稱軸為x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函數(shù)的充要條件為［1，2］（－∞，a］或［1，2］［a，+∞），即a≥2或a≤1. 答案：D 6.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件. 分析：先根據(jù)前n項和公式，導(dǎo)出使{an}為等比數(shù)列的必要條件，再證明其充分條件. 解：當(dāng)n=1時，a1=S1=p+q； 當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=（p－1）pn－1. 由于p≠0，p≠1，∴當(dāng)n≥2時，{an}是等比數(shù)列.要使{an}（n∈N*）是等比數(shù)列，則=p，即（p－1）p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=－1. 再證充分性： 當(dāng)p≠0且p≠1且q=－1時，Sn=pn－1， an=（p－1）pn－1，=p（n≥2）， ∴{an}是等比數(shù)列.