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1、1、 正 弦 定 理 ： RCcBbAa 2sinsinsin （ 其 中 ： R為 ABC的 外 接 圓 半 徑 ）3、 正 弦 定 理 的 變 形 ： CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 RcCRbBRaA 2sin,2sin,2sin cbaCBA :sin:sin:sin 2、 三 角 形 面 積 公 式 ： CabBcaAbcS ABC sin21sin21sin21 2sin sin sina b c RA B C 復(fù) 習(xí) 回 顧 Cabbac Baccab Abccba cos2 cos2 cos2222 222 222 變 形 ab cbaC ca bacB bc

2、 acbA 2cos 2cos 2cos 222 222 222 余 弦 定 理 ：在 中 ， 以 下 的 三 角 關(guān) 系 式 ， 在 解 答 有 關(guān) 三 角 形 問 題 時 ，經(jīng) 常 用 到 ， 要 記 熟 并 靈 活 地 加 以 運 用 ：ABC ; CBA CBACBA cos)cos(,sin)sin( 2sin2cos,2cos2sin CBACBA 高 度 角 度距 離 有 關(guān) 三 角 形 計 算 經(jīng) 緯 儀 ， 測 量 水 平 角 和 豎 直 角 的 儀 器 。是 根 據(jù) 測 角 原 理 設(shè) 計 的 。 目 前 最 常 用的 是 光 學(xué) 經(jīng) 緯 儀 。光 學(xué) 經(jīng) 緯 儀 :多 應(yīng)

3、 用 實 際 測 量 中 有 許正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 在(1)測 量 距 離 .(2)測 量 高 度 .)3( 測 量 角 度 :多 應(yīng) 用 實 際 測 量 中 有 許正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 在(1)測 量 距 離 . 實 例 講 解例 1:如 圖 ， 設(shè) A、 B兩 點 在 河 的 兩 岸 ， 要 測 量 兩 點之 間 的 距 離 ， 測 量 者 在 A的 同 側(cè) ， 在 所 在 的 河 岸邊 選 定 一 點 C， 測 出 AC的 距 離 是 55m， BAC=51 ， ACB=75 .求 A、 B兩 點 的 距 離(精 確 到 0.1m). 分 析 ： 這 是 一

4、 道 關(guān) 于 測 量 從 一 個 可 到 達 的 點 到 一個 不 可 到 達 的 點 之 間 的 距 離 的 問 題 ， 題 目 條 件 告訴 了 邊 AB的 對 角 ， AC為 已 知 邊 ， 再 根 據(jù) 三 角 形的 內(nèi) 角 和 定 理 很 容 易 根 據(jù) 兩 個 已 知 角 算 出 AC的 對角 ， 應(yīng) 用 正 弦 定 理 算 出 AB邊 。 ABC中 ， 根 據(jù) 已 知 的 邊 和 對 應(yīng) 角 ， 運 用 哪個 定 理 比 較 適 當(dāng) ？問 題 4： 運 用 該 定 理 解 題 還 需 要 那 些 邊 和角 呢 ？ 解 ： 根 據(jù) 正 弦 定 理 ， 得ABCACACBAB sins

5、in )(7.6554sin 75sin55)7551180sin( 75sin55 sinsin55sinsin mABCACBABCACBACAB 答 ： A,B兩 點 間 的 距 離 為 65.7米 。 例 2、 A、 B兩 點 都 在 河 的 對 岸 （ 不 可 到 達 ） ，設(shè) 計 一 種 測 量 兩 點 間 的 距 離 的 方 法 。分 析 ： 用 例 1的 方 法 ， 可 以 計 算 出 河 的這 一 岸 的 一 點 C到 對 岸 兩 點 的 距 離 ， 再測 出 BCA的 大 小 ， 借 助 于 余 弦 定 理可 以 計 算 出 A、 B兩 點 間 的 距 離 。 解 ： 測

6、量 者 可 以 在 河 岸 邊 選 定 兩 點 C、 D， 測 得 CD=a,并且 在 C、 D兩 點 分 別 測 得 BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在 ADC和 BDC中 ， 應(yīng) 用 正 弦 定 理 得 )sin( )sin()(180sin )sin( aaAC )sin( sin)(180sin sin aaBC 計 算 出 AC和 BC后 ， 再 在 ABC中 ， 應(yīng) 用 余 弦 定 理 計算 出 AB兩 點 間 的 距 離 cos222 BCACBCACAB 思考? 如 何 測 量 地 球 與 月 亮 之 間的 距 離 ?AB 背 景資 料 早 在 1671年 ,兩

7、位 法 國 天 文 學(xué) 家 為 了 測 量 地球 與 月 球 之 間 的 距 離 ,利 用 幾 乎 位 于 同 一 子午 線 的 柏 林 與 好 望 角 ,測 量 計 算 出 ,的 大 小和 兩 地 之 間 的 距 離 ,從 而 算 出 了 地 球 與 月 球之 間 的 距 離 約 為 385400km. 練 習(xí) 1.一 艘 船 以 32.2n mile / hr的 速 度 向 正北 航 行 。 在 A處 看 燈 塔 S在 船 的 北 偏 東 20o的方 向 ， 30min后 航 行 到 B處 ， 在 B處 看 燈 塔在 船 的 北 偏 東 65o的 方 向 ， 已 知 距 離 此 燈 塔6.

8、5n mile 以 外 的 海 區(qū) 為 航 行 安 全 區(qū) 域 ， 這艘 船 可 以 繼 續(xù) 沿 正 北 方 向 航 行 嗎 ？11545 sin20 16.1sin20 7.787( )sin45 sin45 ,sin65 7.06( )6.5ASB SBAS ABSB n mileS AB hh SB n mileh n mile 解 ： 在 中 ， ， 由 正 弦 定 理 得設(shè) 點 到 直 線 的 距 離 為 則此 船 可 以 繼 續(xù) 沿 正 北 方 向 航 行答 ： 此 船 可 以 繼 續(xù) 沿 正 北 方 向 航 行 練 習(xí) 2 自 動 卸 貨 汽 車 的 車 廂 采 用 液 壓 機

9、構(gòu) 。 設(shè) 計 時 需 要 計 算油 泵 頂 桿 BC的 長 度 已 知 車 廂 的 最 大 仰 角 是 60 ， 油 泵 頂 點 B與 車 廂 支 點 A之 間 的 距 離 為 1.95m， AB與 水 平 線 之 間 的 夾 角 為6 20， AC長 為 1.40m， 計 算 BC的 長 （ 精 確 到 0.01m） （ 1） 什 么 是 最 大 仰 角 ？ 最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度 （ 2） 例 題 中 涉 及 一 個 怎 樣 的 三 角形 ？ 在 ABC中 已 知 什 么 ， 要 求 什 么 ？ C A B 練 習(xí) 2 自 動 卸 貨 汽 車 的 車 廂

10、 采 用 液 壓 機 構(gòu) 。 設(shè) 計 時 需 要 計 算油 泵 頂 桿 BC的 長 度 已 知 車 廂 的 最 大 仰 角 是 60 ， 油 泵 頂 點 B與 車 廂 支 點 A之 間 的 距 離 為 1.95m， AB與 水 平 線 之 間 的 夾 角 為6 20， AC長 為 1.40m， 計 算 BC的 長 （ 精 確 到 0.01m） 最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度最 大 角 度 已 知 ABC中 AB 1.95m， AC 1.40m， 夾 角 CAB 66 20， 求 BC解 ： 由 余 弦 定 理 ， 得 答 ： 頂 桿 BC約 長 1.89m。 CA B2 2 22

11、2 2 cos 1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BC AB AC AB AC ABC :多 應(yīng) 用 實 際 測 量 中 有 許正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 在(2)測 量 高 度 . 例 3 AB是 底 部 B不 可 到 達 的 一 個 建 筑 物 ， A為 建 筑 物的 最 高 點 ， 設(shè) 計 一 種 測 量 建 筑 物 高 度 AB的 方 法分 析 ： 由 于 建 筑 物 的 底 部 B是 不 可 到 達 的 ， 所 以 不 能 直接 測 量 出 建 筑 物 的 高 。 由 解直 角 三 角 形 的 知 識 ， 只 要 能測 出

12、 一 點 C到 建 筑 物 的 頂 部A的 距 離 CA,并 測 出 由 點 C觀 察 A的 仰 角 ， 就 可 以 計 算出 建 筑 物 的 高 。 所 以 應(yīng) 該 設(shè)法 借 助 解 三 角 形 的 知 識 測 出CA的 長 。 . . ,1 的 方 法物 高 度 設(shè) 計 一 種 測 量 建 筑為 建 筑 物 的 最 高 點不 可 到 達 的 一 個 建 筑 物是 底 部、例 ABA BAB BEAH GD C )sin(sin aAC hahAChAEAB )sin( sinsinsin 解 ： 選 擇 一 條 水 平 基 線 HG,使H,G,B三 點 在 同 一 條 直 線 上 。 由在

13、 H,G兩 點 用 測 角 儀 器 測 得 A的仰 角 分 別 是 ， ， CD=a,測 角 儀器 的 高 是 h.那 么 ， 在 ACD中 ，根 據(jù) 正 弦 定 理 可 得例 3 AB是 底 部 B不 可 到 達 的 一 個 建 筑 物 ， A為 建 筑 物的 最 高 點 ， 設(shè) 計 一 種 測 量 建 筑 物 高 度 AB的 方 法 例 4 在 山 頂 鐵 塔 上 B處 測 得 地 面 上一 點 A的 俯 角 54 40， 在 塔 底C處 測 得 A處 的 俯 角 50 1。已 知 鐵 塔 BC部 分 的 高 為 27.3m，求 出 山 高 CD(精 確 到 1m)分 析 ： 根 據(jù) 已

14、知 條 件 ， 應(yīng) 該 設(shè)法 計 算 出 AB或 AC的 長解 ： 在 ABC中 ， BCA=90 +, ABC=90 -, BAC=-, BAD=.根 據(jù) 正 弦 定 理 ， )90sin()sin( ABBC )(177 )1504054sin( 4054sin150cos3.27 )sin( sincossin, m BCBADABBD ABDRt 得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答 ： 山 的 高 度 約 為 150米 。 )sin( cos)sin( )90sin( BCBCAB 所 以 ， 例 5 一 輛 汽 車 在 一 條 水 平 的 公 路 上 向 正 東 行

15、 駛 ， 到 A處 時 測 得公 路 南 側(cè) 遠 處 一 山 頂 D在 東 偏 南 15 的 方 向 上 ， 行 駛 5km后 到達 B處 ， 測 得 此 山 頂 在 東 偏 南 25 的 方 向 上 ， 仰 角 8 ， 求 此 山的 高 度 CD.分 析 ： 要 測 出 高 CD,只 要測 出 高 所 在 的 直 角 三 角 形的 另 一 條 直 角 邊 或 斜 邊 的長 。 根 據(jù) 已 知 條 件 ， 可 以計 算 出 BC的 長 。 例 5 一 輛 汽 車 在 一 條 水 平 的 公 路 上 向 正 東 行 駛 ， 到 A處 時 測 得公 路 南 側(cè) 遠 處 一 山 頂 D在 東 偏 南

16、 15 的 方 向 上 ， 行 駛 5km后 到達 B處 ， 測 得 此 山 頂 在 東 偏 南 25 的 方 向 上 ， 仰 角 8 ， 求 此 山的 高 度 CD.解 ： 在 ABC中 ， A=15 , C=25 -15 =10 .根 據(jù) 正 弦 定 理 ，CABABC sinsin ).(4524.710sin 15sin5sinsin kmCAABBC CD=BC tan DBCBC tan8 1047(m) 答 ： 山 的 高 度 約 為 1047米 。 :多 應(yīng) 用 實 際 測 量 中 有 許正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 在 .)3( 測 量 角 度 ).01.0 ,1.0(

17、, , .0.5432 ,5.67 75,.6 00 0nmile CA Cnmile BBnmile A確 到 距 離 精角 度 精 確 到需 要 航 行 多 少 距 離航 行 此 船 應(yīng) 該 沿 怎 樣 的 方 向出 發(fā) 到 達航 行 直 接 從 如 果 下 次后 到 達 海 島的 方 向 航 行東 沿 北 偏出 發(fā)然 后 從后 到 達 海 島航 行 的 方 向沿 北 偏 東出 發(fā)一 艘 海 輪 從如 圖例 例 6 一 艘 海 輪 從 A出 發(fā) ， 沿 北 偏 東 75 的 方 向 航 行 67.5n mile后 到 達 海 島 B,然 后 從 B出 發(fā) ， 沿 北 偏 東 32 的 方

18、向 航 行 54.0n mile后 到 達 海 島 C.如 果 下 次 航 行 直 接 從 A出 發(fā) 到 達 C,此 船 應(yīng) 該沿 怎 樣 的 方 向 航 行 ， 需 要 航 行 多 少 距 離 （ 角 度 精 確 到 0.1 ,距離 精 確 到 0.01n mile） ?解 ： 在 ABC中 ， ABC180 75 32 137 ，根 據(jù) 余 弦 定 理 ，15.113 137cos0.545.6720.545.67 cos222 22 ABCBCABBCABAC 3. 3.5m長 的 木 棒 斜 靠 在 石 堤 旁 ， 棒的 一 端 離 堤 足 1.2m的 地 面 上 ， 另 一端 沿 堤

19、 上 2.8m的 地 方 ， 求 地 對 地 面的 傾 斜 角 。 63.77 練 習(xí) : 在 山 頂 鐵 塔 上 B處 測 得 地 面上 一 點 A的 俯 角 60 ， 在 塔 底C處 測 得 A處 的 俯 角 30 。 已知 鐵 塔 BC部 分 的 高 為 28m， 求 出山 高 CD.分 析 ： 根 據(jù) 已 知 條 件 ， 應(yīng) 該 設(shè)法 計 算 出 AB或 AC的 長解 ： 在 ABC中 ， BCA=90 +, ABC=90 -, BAC=-, BAD=.根據(jù) 正 弦 定 理 ， )90sin()sin( ABBC D A BC )(42 )3060sin( 60sin30cos28 )

20、sin( sincossin,m BCBADABBD ABDRt 得解 CD=BD-BC=42-28=14(m)答 ： 山 的 高 度 約 為 14米 。 )sin( cos)sin( )90sin( BCBCAB 所 以 ， 課 堂 小 結(jié)1、 本 節(jié) 課 通 過 舉 例 說 明 了 解 斜 三 角 形 在 實 際 中 的 一 些 應(yīng) 用 。 掌 握 利 用 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 解 任 意 三 角 形 的 方 法 。2、 在 分 析 問 題 解 決 問 題 的 過 程 中 關(guān) 鍵 要 分 析 題 意 ， 分 清 已 知 與 所 求 ， 根 據(jù) 題 意 畫 出 示 意 圖 ，

21、并 正 確 運 用 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 解 題 。3、 在 解 實 際 問 題 的 過 程 中 ， 貫 穿 了 數(shù) 學(xué) 建 模 的 思 想 ， 其 流 程 圖 可 表 示 為 ： 實 際 問 題 數(shù) 學(xué) 模 型 實 際 問 題 的 解 數(shù) 學(xué) 模 型 的 解畫 圖 形 解三角形檢 驗 （ 答 ） P19 1.2A 1、 3、 9 解 斜 三 角 形 應(yīng) 用 題 的 一 般 步 驟 ：（ 1） 分 析 ： 理 解 題 意 ， 分 清 已 知 與 未 知 ，畫 出 示 意 圖（ 2） 建 模 ： 根 據(jù) 已 知 條 件 與 求 解 目 標(biāo) ， 把已 知 量 與 求 解 量 盡 量 集 中 在 有 關(guān) 的 三 角 形 中， 建 立 一 個 解 斜 三 角 形 的 數(shù) 學(xué) 模 型（ 3） 求 解 ： 利 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 有 序地 解 出 三 角 形 ， 求 得 數(shù) 學(xué) 模 型 的 解（ 4） 檢 驗 ： 檢 驗 上 述 所 求 的 解 是 否 符 合 實際 意 義 ， 從 而 得 出 實 際 問 題 的 解