2019-2020年高考數(shù)學 高頻考點、提分密碼 第五部分 數(shù)列 新人教版一、 考試要求理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義。了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前幾項和公式，并能解決簡單的實際問題。理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。二、知識方法與技巧1.根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出它的通項公式時，其通項公式不唯一.例如：1，2，4，.通項an=2n1 或an=1.數(shù)列通項公式an=f(n)，其圖象是y軸右側(cè)的坐標為(n,an)的一系列孤立點.2.由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性與判斷函數(shù)的單調(diào)性方法基本是相同的，只需比較an與an+1的大小即可.利用遞推公式或者an與Sn的關(guān)系式解題時，一般要驗證初始值n是否適合所求的式子，即an=；涉及an1或Sn1時，應分n=1和n2兩種情況考慮；等比數(shù)列求和時，要考慮公比q是否為1.3.若三數(shù)成等差數(shù)列，則可設三數(shù)為ad,a,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，則可設,a,aq.4.證明數(shù)列an是等差數(shù)列（等比數(shù)列），必須根據(jù)等差數(shù)列（等比數(shù)列）的定義加以證明.證明數(shù)列an不是等差數(shù)列（等比數(shù)列），只須說明a1,a2,a3不成等差數(shù)列（等比數(shù)列）即可.5.數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件的幾種表示（即等差數(shù)列的判定方法）：an+1an=d(常數(shù))；2an+1=an+an+2；an=kn+b (k、b為常數(shù))，其中公差d=k.Sn=An2+Bn.數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件的幾種表示（即等比數(shù)列的判定方法）：=q(常數(shù))；an+12=anan+2；an=aqn(aq0，且a、q為常數(shù))6.當公差d0時，等差數(shù)列的前n項和Sn方可表示為關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)，且二次項系數(shù)的2倍就是公差.11.求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法：可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值；應用以下結(jié)論：當公差d<0時，Sn最大an0且an+10；當公差d>0時，Sn最小an0且an+10.利用f(n)=Sn的拋物線特征解小題(d0).12.等比數(shù)列的任一項及公比都不能為0；常數(shù)數(shù)列不一定是等比數(shù)列；G2=ab是a、G、b成等比數(shù)列的必要條件而非充分條件.13.若an是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列(a0的常數(shù))；若an是等比數(shù)列，且an>0，則logaan是等差數(shù)列(a為常數(shù)).14.求數(shù)列an的最值常見方法：利用通項公式an的本身特征求解；若an是單調(diào)數(shù)列，則可利用單調(diào)性求解；若對一切nN*都有，an>0 (an<0)，則an最大；an最小. 15.求數(shù)列an前n項和Sn，關(guān)鍵是根據(jù)通項an的特征，去尋求求和的方法，常見幾種方法：通項裂項法；錯位相差法；累加（累乘）法；逆項相加法.16.分期付款中，要弄清商品售價到貸款全部付清時增值到多少；各期所付款額到貸款全部付清時分別增值到多少；如何利用分期付款中的有關(guān)規(guī)定列出方程；解方程時，如何利用等比數(shù)列的知識進行有關(guān)計算。17.an=a1+(a2a1)+(a3a2)+(anan1)，an=a1（an0）等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.如果G是a與b的等比中項，那么=，即G2=ab，因此，G=G是a,b的等比中項的充要條件是G2=ab（或G=），其中ab>0，條件ab>0不能少，如果ab=0，a,b中至少有一個為0，那么a,g,b就不為等比數(shù)列，只有同號的兩個數(shù)才有等比中項，等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，這一點與等差中項不同.一個等比數(shù)列從第2項起，每一項（有窮等比數(shù)列的末項除外）是它的前一項與后一項的等比中項。2.等比數(shù)列性質(zhì)若首項a1>0，公比q>1，或首項a1<0，公比0<q<1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若首項a1>0，公比0<q<1或首項a1<0，公比q>1，則數(shù)列為遞減數(shù)列；公比q=1，數(shù)列為常數(shù)列；公比q<0，數(shù)列為擺動數(shù)列，公比不等于零是一大特色.有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項積相等，并且等于首末兩項之積；特別地，若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的平方，即：a1an=a2an1=a3an2=.若m,n,p,kN*，且m+n=p+k，則aman=apak，其中am，an，ap，ak是數(shù)列中的項，特別地，當m+n=2p時，有aman=類似于等差數(shù)列，在使用該性質(zhì)時，不僅應注意等式兩邊下標和相等，也應要求等式兩邊作積的項數(shù)應是一樣多的.若數(shù)列an與bn均為等比數(shù)列，則manbn與|仍為等比數(shù)列，其中m是不為零的常數(shù).等比數(shù)列an，通項公式an=a1qn1=qn，則an可表示為an=cqn，其中C=，q為公比.等比數(shù)列an的前n項和Sn=(q1)，則Sn可表示為Sn=kkqn，其中q為公比，q0，q1，k=.等差中項任意兩個數(shù)a,b有且只有一個等差中項，即A=.A=是a,A,b成等差數(shù)列的充要條件，因此，兩個數(shù)的等差中項就是這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù).在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外），都是它的前一項與后一項的等差中項.2、等差數(shù)列的性質(zhì)若公差d>0，則此數(shù)列為遞增數(shù)列；若d<0，則此數(shù)列為遞減數(shù)列；若d=0，則此數(shù)列為常數(shù)列.有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；特別地，若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的2倍，即a1+an=a2+an1=a3+an2=2a中若m,n,p,kN*，且m+n=p+k，則am+an=ap+ak，其中am,an,ap,ak，是數(shù)列中的項，特別地，當m+n=2p時，有am+an=2ap.這條性質(zhì)，還可以推廣到有三項、四項等情形，使用該性質(zhì)時，一要注意等式兩邊下標和相等，二要注意等式兩邊和的項數(shù)應是一樣多的.在等差數(shù)列中，每隔相同的項抽出來的項按照原來順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的項按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列.等差數(shù)列中連續(xù)幾項之和構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.若數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，則man+kbn仍為等差數(shù)列，其中m,k均為常數(shù).等差數(shù)列an通項公式an=a1+(n1)d=dn+(a1d)，則an可表示為：an=kn+b，（其中k為等差數(shù)列的公差，它可以是任意實數(shù)）.等差數(shù)列的前n項和Sn=na1+(n1)d=n2+(a1)，則Sn表示為：Sn=an2+bn，其中a,b也可以是任意實數(shù)，常數(shù)項為0是一大特色.另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：等差數(shù)列an中，若an=m，am=n，(mn)則am+n=0.等差數(shù)列an中，若Sn=m，Sm=n,（mn_，則Sm+n=(m+n).等差數(shù)列an中，若Sn=Sm(mn)，則Sm+n=0.若an與bn均為等差數(shù)列，且前n項和分別為Sn與，則.項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an，有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an與an+1為中間的兩項)；S偶S奇=nd；.項數(shù)為奇數(shù)(2n1)的等差數(shù)列an，有S2n1=(2n1)an(an為中間項)；S奇S偶=an；.S奇、S偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和.等差數(shù)列an的一些性質(zhì)對于任意正整數(shù)n，都有an+1an=a2a1an的通項公式：an=(a2a1)n+(2a1a2)對于任意正整數(shù)p、q、r、s，如果p+q=r+s，則ap+aq=ar+as對于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則有ap+ar=2aq對于任意正整數(shù)n>1，有2an=an1+an+1對于任意非零實數(shù)b，數(shù)列ban是等差數(shù)列，則數(shù)列an是等差數(shù)列已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，則anbn也是等差數(shù)列a2n，a2n1，a3n1，a3n2等都是等差數(shù)列S3m=3(S2mSm).若Sn=Sm (mn)，則Sm+n=0若Sp=q，Sq=p，則Sp+q=(p+q) (pq)Sn=an2+bn，反之亦成立.等比數(shù)列定義：=q (常數(shù)q為公比)通項公式：an=a1qn1前n項和公式Sn=通項公式推廣：an=amqnm等比數(shù)列an的一些性質(zhì)對于任意正整數(shù)n，均有對于任意正整數(shù)p、q、r、s，只要滿足p+q=r+s，則apaq=aras對于任意正整數(shù)p、q、r，如果p+r=2q，則apar=對任意正整數(shù)n>1，有=an1an+1對于任意非零實數(shù)b，ban也是等比數(shù)列已知bn是等比數(shù)列，則anbn也是等比數(shù)列