2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 第3講幾何概型教案 理 新人教版【xx年高考會這樣考】以選擇題或填空題的形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型的求法是高考對本內(nèi)容的熱點考法，特別是與平面幾何、函數(shù)等結(jié)合的幾何概型是高考的重點內(nèi)容新課標(biāo)高考對幾何概型的要求較低，因此高考試卷中此類試題以低、中檔題為主【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時，準(zhǔn)確理解幾何概型的意義、構(gòu)造出度量區(qū)域是用幾何概型求隨機事件概率的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)時要多反思和多領(lǐng)悟，掌握方法要領(lǐng)同時要加強與平面區(qū)域、空間幾何體、平面向量、函數(shù)結(jié)合等方面的訓(xùn)練基礎(chǔ)梳理1幾何概型事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)滿足以上條件的試驗稱為幾何概型2幾何概型中，事件A的概率計算公式P(A).3要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性一條規(guī)律對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認(rèn)識，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法兩種類型(1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時(2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)在線段0,3上任投一點，則此點坐標(biāo)小于1的概率為() A. B. C. D1解析點坐標(biāo)小于1的區(qū)間長度為1，故所求其概率為.答案B2一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時看見的是紅燈的概率是() A. B. C. D.解析以時間的長短進(jìn)行度量，故P.答案B3(xx衡陽模擬)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是()解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)答案A4.某人隨機地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為()A. B.C. D以上全錯解析設(shè)正三角形邊長為a，則外接圓半徑raa，所求概率P.答案B5在區(qū)間1,2上隨機取一個數(shù)x，則x0,1的概率為_解析如圖，這是一個長度型的幾何概型題，所求概率P.答案考向一與長度有關(guān)的幾何概型【例1】點A為周長等于3的圓周上的一個定點若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為_審題視點 用劣弧的長度與圓周長的比值解析如右圖，設(shè)A、M、N為圓周的三等分點，當(dāng)B點取在優(yōu)弧上時，對劣弧來說，其長度小于1，故其概率為.答案 將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解【訓(xùn)練1】 一只螞蟻在三邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為_解析如圖，該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的長度為：1236，故所求概率為P.答案考向二與面積有關(guān)的幾何概型【例2】(xx華東師大附中模擬)設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率審題視點 (1)為古典概型，利用列舉法求概率(2)建立ab平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型解設(shè)事件A為“方程x22axb20有實根”當(dāng)a0，b0時，方程x22axb20有實根的充要條件為ab.(1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A).(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為(a，b)|0a3,0b2，構(gòu)成事件A的區(qū)域為(a，b)|0a3,0b2，ab，所以所求的概率為P(A). 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，利用公式可求【訓(xùn)練2】 (xx福建)如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自ABE內(nèi)部的概率等于()A. B. C. D.解析SABE|AB|AD|，S矩形ABCD|AB|AD|.故所求概率P.答案C考向三與角度、體積有關(guān)的幾何概型【例3】在RtABC中，A30，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|AC|的概率審題視點 如圖所示，因為過一點作射線是均勻的，因而應(yīng)把在ACB內(nèi)作射線CM看做是等可能的，基本事件是射線CM落在ACB內(nèi)任一處，使|AM|AC|的概率只與BCC的大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件解設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|AC|”在AB上取點C使|AC|AC|，因為ACC是等腰三角形，所以ACC75，A907515，90，所以P(D). 幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測度”，如本例以角度為“測度”因為射線CM落在ACB內(nèi)的任意位置是等可能的若以長度為“測度”，就是錯誤的，因為M在AB上的落點不是等可能的【訓(xùn)練3】 (xx長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_解析點P到點O的距離大于1的點位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外記點P到點O的距離大于1為事件A，則P(A)1.答案1規(guī)范解答21如何解決概率與函數(shù)的綜合問題【問題研究】 所謂概率，就是某種事件發(fā)生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常見的例子，也可以是有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如以函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)為背景，設(shè)置概型，提出問題，考查考生綜合分析問題、解決問題的能力.【解決方案】 首先認(rèn)真閱讀題目，把其中的有用信息向我們熟悉的知識方面轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)知識的遷移，然后再利用概率的知識去解決.【示例】 (本題滿分12分)(xx濰坊模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)ax24bx1.(1)設(shè)集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率 本題以“二次函數(shù)的單調(diào)性”為背景，首先寫出事件發(fā)生所滿足的條件，在第(1)問中，給出了有限個數(shù)據(jù)，從而判斷是古典概型問題，利用列舉法寫出事件發(fā)生的總數(shù)以及滿足條件的事件發(fā)生的個數(shù)，再利用公式求之；第(2)問中，a和b有無限個數(shù)據(jù)，所以是幾何概型問題，首先計算事件發(fā)生的總數(shù)與滿足條件的事件發(fā)生的個數(shù)的測度，再利用公式求之解答示范 (1)函數(shù)f(x)ax24bx1的圖象的對稱軸為直線x，要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a0且1，即2ba.(2分)若a1，則b1；若a2，則b1或1；若a3，則b1或1.事件包含基本事件的個數(shù)是1225.(5分)所求事件的概率為.(6分)(2)由(1)，知當(dāng)且僅當(dāng)2ba且a0時，函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，(8分)依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分由得交點坐標(biāo)為，(10分)所求事件的概率為P.(12分) 本題中先將f(x)在1，)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足條件2ba且a0，然后再聯(lián)系已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，實現(xiàn)了知識的逐步遷移，這種轉(zhuǎn)化遷移的思想值得考生注意，另外，對于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，在某一區(qū)間m，)上單調(diào)遞增的充要條件是切勿漏掉a0.【試一試】 已知關(guān)于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1)若a，b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；(2)若a2,6，b0,4，求方程沒有實根的概率嘗試解答(1)基本事件(a，b)共有36個，方程有正根等價于a20,16b20，0，即a2，4b4，(a2)2b216.設(shè)“方程有兩個正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4個，故所求的概率為P(A).(2)試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域(a，b)|2a6,0b4，其面積為S()16，設(shè)“方程無實根”為事件B，則構(gòu)成事件B的區(qū)域為B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，其面積為S(B)424，故所求的概率為P(B)