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2019-2020年高考數學一輪總復習 2.3 函數的奇偶性教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　函數奇偶性的判斷 【例1】判斷下列函數的奇偶性. (1)f(x)＝； (2)f(x)＝ 【解析】(1)由得定義域為(－1,0)∪(0,1)， 這時f(x)＝＝－， 因為f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)為偶函數. (2)當x＜0時，－x＞0，則 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)， 當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)， 所以對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數. 【點撥】判斷函數的奇偶性時，應先確定函數的定義域是否關于原點對稱，再分析 f(－x)與f(x)的關系，必要時可對函數的解析式進行化簡變形. 【變式訓練1】(xx廣東)若函數f(x)＝3x＋與g(x)＝3x－的定義域均為R，則(　　) A. f (x)與g(x)均為偶函數 B. f (x)為偶函數，g(x)為奇函數 C. f (x)與g(x)均為奇函數 D. f (x)為奇函數，g(x)為偶函數 【解析】B. 題型二　由奇偶性的條件求函數的解析式 【例2】若函數f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數，求f(x)的解析式. 【解析】因為函數f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數， 所以f(0)＝0，從而得m＝0. 又f()＋f(－)＝0，解得n＝0. 所以f(x)＝(－1＜x＜1). 【變式訓練2】已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數，求a，b的值. 【解析】因為f(x)是奇函數，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)，所以＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. 題型三　函數奇偶性的應用 【例3】設函數f(x)的定義域為R，對于任意實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＞0時，f(x)＞0且f(2)＝6. (1)求證：函數f(x)為奇函數； (2)求證：函數f(x)在R上是增函數； (3)在區(qū)間[－4,4]上，求f(x)的最值. 【解析】(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數. (2)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 又x＞0時，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)， 所以函數f(x)在R上是增函數. (3)因為函數f(x)在R上是增函數， 所以f(x)在區(qū)間[－4,4]上也是增函數， 所以函數f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(－4)， 因為f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12， 又f(x)為奇函數，所以f(－4)＝－f(4)＝－12， 故函數f(x)在區(qū)間[－4,4]上的最大值為12，最小值為－12. 【點撥】函數的最值問題，可先通過判斷函數的奇偶性、單調性，再求區(qū)間上的最值. 【變式訓練3】定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝ 則f(－1)＝　 　，f(33)＝　 　. 【解析】4；－2. 總結提高 1.判定函數的奇偶性時，應先確定函數的定義域是否關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系，必要時可對函數解析式進行化簡變形. 2.判定函數的奇偶性時，有時可通過其等價形式：f(－x)f(x)＝0或＝1 (f(x)≠0)進行處理.[:網] 3.奇偶性與單調性、不等式相結合的問題，要注意數形結合求解.