2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點2.7 立體幾何中的面積與體積教學(xué)案 文近些年來在高考中不僅有直接求多面體，旋轉(zhuǎn)體的面積、體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題，即使考查空間線面的位置關(guān)系也常以幾何體為依托，因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式，同時也要學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解.客觀題主要考查由三視圖得出幾何體的直觀圖，求其表面積、體積或由幾何體的表面積、體積得出某些量；主觀題考查較全面，考查線、面位置關(guān)系，及表面積、體積公式，無論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力1空間幾何體的表面積有關(guān)計算空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和對于簡單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計算時不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和主要有以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和例【安徽省六安市一中xx屆第五次月考】水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中,則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B面圓半徑為，母線長為4，故該幾何體的表面積為選B點評：多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和求解多面體的表面積，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.2空間幾何體的體積有關(guān)計算給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時，可以根據(jù)三視圖還原出實物，畫出該幾何體的直觀圖，確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并利用相應(yīng)的體積公式求出其體積，求體積的方法有直接套用公式法、等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法等多種若所給幾何體為不規(guī)則幾何體，常用等積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法求解例2【遼寧省大連市xx屆第二次聯(lián)考】已知三棱錐的頂點都在半徑為3的球面上， 是球心， ,則三棱錐體積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D點評：本題中是固定的，點是動點，要使三棱錐體積最大，則點到平面的距離最大，所以只要平面時， 最大，求出底面，高，利用錐體體積公式求解即可.求解多面體的體積問題，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解旋轉(zhuǎn)體體積計算問題，只需根據(jù)圖形的特征求出所需元素(半徑、高等)，然后代入公式計算即可3與三視圖有關(guān)的面積與體積的計算問題給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時，可以根據(jù)三視圖還原出實物，畫出該幾何體的直觀圖，確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并利用相應(yīng)的體積公式求出其體積，求體積的方法有直接套用公式法、等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法等多種若所給幾何體為不規(guī)則幾何體，常用等積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法求解例3【廣西桂林市、賀州市xx屆期末聯(lián)考】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. 36 C. D. 【答案】C點評：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響. 4空間幾何的組合體的面積與體積當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進(jìn)而求之幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等另外補(bǔ)臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補(bǔ)成錐體研究體積 例4【四川省成都市雙流中學(xué)xx屆11月月考】已知三棱錐，是直角三角形，其斜邊，平面,則三棱錐的外接球的表面積為( )A. B. C. D. 【答案】A點評：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；若面（），則（為外接圓半徑）；可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；特殊幾何體可以直接找出球心和半徑. 綜合以上四類問題，立體幾何中的面積與體積問題都是高考中的熱點問題，在高考試題的新穎性越來越明顯，能力要求也越來越高，并且也越來越廣泛，從以上幾方面可以概括出在解決幾何體的表面積與體積問題中的方法與技巧：幾何體的側(cè)面積和全面積：幾何體側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行求體積時應(yīng)注意的幾點：求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決與三視圖有關(guān)的體積問題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性求組合體的表面積時注意幾何體的銜接部分的處理