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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點(diǎn)2.7 立體幾何中的面積與體積教學(xué)案 文 近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體，旋轉(zhuǎn)體的面積、體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題，即使考查空間線面的位置關(guān)系也常以幾何體為依托，因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式，同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解.客觀題主要考查由三視圖得出幾何體的直觀圖，求其表面積、體積或由幾何體的表面積、體積得出某些量；主觀題考查較全面，考查線、面位置關(guān)系，及表面積、體積公式，無(wú)論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力． 1．空間幾何體的表面積有關(guān)計(jì)算 空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計(jì)算時(shí)不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和．主要有以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和． 例１【安徽省六安市一中xx屆第五次月考】水平放置的，用斜二測(cè)畫(huà)法作出的直觀圖是如圖所示的，其中,則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 面圓半徑為，母線長(zhǎng)為4，故該幾何體的表面積為．選B． 點(diǎn)評(píng)：多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和． 求解多面體的表面積，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺(tái)中的直角梯形等，通過(guò)這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解．計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)進(jìn)行，即將側(cè)面展開(kāi)化為平面圖形，“化曲為直”來(lái)解決，因此要熟悉常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及平面圖形面積的求法. 2．空間幾何體的體積有關(guān)計(jì)算 給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時(shí)，可以根據(jù)三視圖還原出實(shí)物，畫(huà)出該幾何體的直觀圖，確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并利用相應(yīng)的體積公式求出其體積，求體積的方法有直接套用公式法、等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法等多種．若所給幾何體為不規(guī)則幾何體，常用等積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法求解． 例2【遼寧省大連市xx屆第二次聯(lián)考】已知三棱錐的頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上， 是球心， ,則三棱錐體積的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 點(diǎn)評(píng)：本題中是固定的，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，要使三棱錐體積最大，則點(diǎn)到平面的距離最大，所以只要平面時(shí)， 最大，求出底面，高，利用錐體體積公式求解即可.求解多面體的體積問(wèn)題，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺(tái)中的直角梯形等，通過(guò)這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解．旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算問(wèn)題，只需根據(jù)圖形的特征求出所需元素(半徑、高等)，然后代入公式計(jì)算即可． 3．與三視圖有關(guān)的面積與體積的計(jì)算問(wèn)題 給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時(shí)，可以根據(jù)三視圖還原出實(shí)物，畫(huà)出該幾何體的直觀圖，確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并利用相應(yīng)的體積公式求出其體積，求體積的方法有直接套用公式法、等體積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法等多種．若所給幾何體為不規(guī)則幾何體，常用等積轉(zhuǎn)換法和割補(bǔ)法求解． 例3【廣西桂林市、賀州市xx屆期末聯(lián)考】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A. B. 36 C. D. 【答案】C 點(diǎn)評(píng)：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響. 4．空間幾何的組合體的面積與體積 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利．幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之．幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積． 例4【四川省成都市雙流中學(xué)xx屆11月月考】已知三棱錐，是直角三角形，其斜邊，平面,,則三棱錐的外接球的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】A 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑. 綜合以上四類(lèi)問(wèn)題，立體幾何中的面積與體積問(wèn)題都是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，在高考試題的新穎性越來(lái)越明顯，能力要求也越來(lái)越高，并且也越來(lái)越廣泛，從以上幾方面可以概括出在解決幾何體的表面積與體積問(wèn)題中的方法與技巧：幾何體的側(cè)面積和全面積：幾何體側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和．對(duì)側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)進(jìn)行．求體積時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)：求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性．求組合體的表面積時(shí)注意幾何體的銜接部分的處理．