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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.4 定積分與微積分基本定理教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　求常見函數(shù)的定積分 【例1】 計(jì)算下列定積分的值. (1)(x－1)5dx； (2) (x＋sin x)dx. 【解析】(1)因?yàn)閇(x－1)6]′＝(x－1)5， 所以 (x－1)5dx＝＝. (2)因?yàn)?－cos x)′＝x＋sin x， 所以(x＋sin x)dx＝＝＋1. 【點(diǎn)撥】(1)一般情況下，只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就能求出定積分的值； (2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)每個(gè)區(qū)間分段積分，再求和； (3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)后積分； (4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時(shí)，可用以下結(jié)論： ①若f(x)是偶函數(shù)時(shí)，則f(x)dx＝2f(x)dx； ②若f(x)是奇函數(shù)時(shí)，則f(x)dx＝0. 【變式訓(xùn)練1】求(3x3＋4sin x)dx. 【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直線x＝－5，x＝5，y＝0和曲線 y＝3x3＋4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào). 又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x) ＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x). 所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函數(shù)， 所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx， 所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0. 題型二　利用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積 【例2】求拋物線y2＝2x與直線y＝4－x所圍成的平面圖形的面積. 【解析】方法一：如圖， 由 得交點(diǎn)A(2,2)，B(8，－4)， 則S＝[－(－)]dx＋[4－x－(－)]dx ＝＋ ＝＋＝18. 方法二：S＝[(4－y)－]dy ＝＝18. 【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征，選擇不同的積分變量，可使計(jì)算簡(jiǎn)捷，在以y為積分變量時(shí)，應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤＝φ(y)的形式，同時(shí)，積分上、下限必須對(duì)應(yīng)y的取值. 【變式訓(xùn)練2】設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，(1＋)k的展開式中x3的系數(shù)為，則函數(shù)y＝x2與y＝kx－3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為　　　　. 【解析】Tr＋1＝C()r，令r＝3，得x3的系數(shù)為C＝，解得k＝4.由得函數(shù)y＝x2與y＝4x－3的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3. 所以陰影部分的面積為S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝. 題型三　定積分在物理中的應(yīng)用 【例3】 (1) 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v (t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內(nèi)所走過的路程及2秒末所在的位置； (2)一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)阻力所做的功. 【解析】(1)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，v(t)≥0，當(dāng)1≤t≤2時(shí)，v(t)≤0，所以前2秒內(nèi)所走過的路程為 s＝v(t)dt＋(－v(t))dt ＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt =＋＝2. 2秒末所在的位置為 x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝. 所以它在前2秒內(nèi)所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1＝. (2) 物體的速度為v＝(bt3)′＝3bt2. 媒質(zhì)阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k為比例常數(shù)，且k＞0. 當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0； 當(dāng)x＝a時(shí)，t＝t1＝()， 又ds＝vdt，故阻力所做的功為 W阻＝ds ＝kv2vdt＝kv3dt ＝ k(3bt2)3dt＝kb3t ＝ k. 【點(diǎn)撥】定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt和W＝F(x)dx這三個(gè)公式. 【變式訓(xùn)練3】定義F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函數(shù)f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點(diǎn)A(0，m)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，設(shè)曲線C1在點(diǎn)A，B之間的曲線段與線段OA，OB所圍成圖形的面積為S，求S的值. 【解析】因?yàn)镕(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4. 所以解得B(3,6)， 所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(－3x2＋9x)=9. 總結(jié)提高 1.定積分的計(jì)算關(guān)鍵是通過逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù). 2.定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用必須遵循相應(yīng)的物理過程和物理原理. 3.利用定積分求平面圖形面積的步驟： （1）畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象； （2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限； （3）把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和； （4）計(jì)算定積分，寫出答案.