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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 6.2 等差數(shù)列教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　等差數(shù)列的判定與基本運算 【例1】已知數(shù)列{an}前n項和Sn＝n2－9n. (1)求證：{an}為等差數(shù)列；(2)記數(shù)列{|an|}的前n項和為Tn，求 Tn的表達式. 【解析】(1)證明：n＝1時，a1＝S1＝－8， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10， 當n＝1時，也適合該式，所以an＝2n－10 (n∈N*). 當n≥2時，an－an－1＝2，所以{an}為等差數(shù)列. (2)因為n≤5時，an≤0，n≥6時，an＞0. 所以當n≤5時，Tn＝－Sn＝9n－n2， 當n≥6時，Tn＝＋＋…＋＋＋…＋ ＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an ＝Sn－2S5＝n2－9n－2(－20)＝n2－9n＋40， 所以， 【點撥】根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運用求和公式. 【變式訓練1】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S21＝42，若記bn＝，則數(shù)列{bn}(　　) A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列 【解析】本題考查了兩類常見數(shù)列，特別是等差數(shù)列的性質(zhì).根據(jù)條件找出等差數(shù)列{an}的首項與公差之間的關系從而確定數(shù)列{bn}的通項是解決問題的突破口.{an}是等差數(shù)列，則S21＝21a1＋d＝42. 所以a1＋10d＝2，即a11＝2.所以bn＝＝22－(2a11)＝20＝1，即數(shù)列{bn}是非0常數(shù)列，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.答案為C. 題型二　公式的應用 【例2】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0. (1)求公差d的取值范圍； (2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由. 【解析】(1)依題意，有 S12＝12a1＋＞0，S13＝13a1＋＜0， 即 由a3＝12，得a1＝12－2d.③　 將③分別代入①②式，得 所以－＜d＜－3. (2)方法一：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13， 因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an＞0，an＋1＜0， 則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值. 由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0， 即a6＋a7＞0，a7＜0，因此a6＞0，a7＜0， 故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大. 方法二：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13， 因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an＞0，an＋1＜0， 則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值. 故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大. 【變式訓練2】在等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，a2 008，a2 009是方程x2－3x－5＝0的兩個根，Sn是數(shù)列{an}的前n項的和，那么滿足條件Sn＜0的最大自然數(shù)n＝　　　　. 【解析】由題意知又因為公差d＞0，所以a2 008＜0，a2 009＞0. 當 n＝4 015時，S4 015＝4 015＝a2 0084 015＜0；當n＝4 016時，S4 016＝4 016＝4 016＞0.所以滿足條件Sn＜0的最大自然數(shù)n＝4 015. 題型三　性質(zhì)的應用 【例3】某地區(qū)xx年9月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數(shù)比前一天增加40人；但從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，每天的新感染者人數(shù)比前一天減少10人. (1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù)； (2)該地區(qū)9月份(共30天)該病毒新感染者共有多少人？ 【解析】(1)由題意知，該地區(qū)9月份前10天流感病毒的新感染者的人數(shù)構成一個首項為40，公差為40的等差數(shù)列. 所以9月10日的新感染者人數(shù)為40＋(10－1)40＝400(人). 所以9月11日的新感染者人數(shù)為400－10＝390(人). (2)9月份前10天的新感染者人數(shù)和為S10＝＝2 200(人)， 9月份后20天流感病毒的新感染者的人數(shù)，構成一個首項為390，公差為－10的等差數(shù)列. 所以后20天新感染者的人數(shù)和為T20＝20390＋(－10)＝5 900(人). 所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人). 【變式訓練3】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為 【解析】因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4≥10，S5≤15， 所以≤a4≤3＋d，即5＋3d≤6＋2d，所以d≤1， 所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4. 總結(jié)提高 1.在熟練應用基本公式的同時，還要會用變通的公式，如在等差數(shù)列中，am＝an＋(m－n)d. 2.在五個量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三個量可求出其余兩個量，要求選用公式要恰當，即善于減少運算量，達到快速、準確的目的. 3.已知三個或四個數(shù)成等差數(shù)列這類問題，要善于設元，目的仍在于減少運算量，如三個數(shù)成等差數(shù)列時，除了設a，a＋d，a＋2d外，還可設a－d，a，a＋d；四個數(shù)成等差數(shù)列時，可設為a－3m，a－m，a＋m，a＋3m. 4.在求解數(shù)列問題時，要注意函數(shù)思想、方程思想、消元及整體消元的方法的應用.