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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　直線與圓的位置關(guān)系的判斷 【例1】已知圓的方程x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時(shí)， (1)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn). 【解析】方法一：(幾何法) 設(shè)圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d，d＝＝，半徑r＝. 當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交，＜，－2＜b＜2， 所以當(dāng)－2＜b＜2時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)d＝r時(shí)，直線與圓相切， ＝，b＝2， 所以當(dāng)b＝2時(shí)，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn). 方法二：(代數(shù)法) 聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組 消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2. 當(dāng)Δ＞0，即－2＜b＜2時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)Δ＝0，即b＝2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn). 【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣. 【變式訓(xùn)練1】圓2x2＋2y2＝1與直線xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置關(guān)系是(　　) A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定 【解析】選A.易知圓的半徑r＝，設(shè)圓心到直線的距離為d，則d＝. 因?yàn)棣取伲玨π，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1， 所以＜d≤1，即d＞r，所以直線與圓相離. 題型二　圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用 【例2】如果圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓O：x2＋y2＝1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，符合題意，故應(yīng)滿足2－1＜|OC|＜2＋1， 所以1＜＜3，即＜|a|＜， 所以－＜a＜－或＜a＜為所求a的范圍. 【變式訓(xùn)練2】?jī)蓤A(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為　　　　　. 【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(－1,1)，(2，－2)，則過它們圓心的直線方程為＝，即y＝－x. 根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對(duì)稱. 故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－2，－1). 題型三　圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦的問題 【例3】已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程； (2)求圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】(1)如圖，AB＝4，D是AB的中點(diǎn)，則AD＝2，AC＝4， 在Rt△ADC中，可得CD＝2. 設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為 y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點(diǎn)C到直線的距離公式＝2， 得k＝，此時(shí)直線l的方程為3x－4y＋20＝0. 又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)的方程為x＝0. 所以所求直線為x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦長(zhǎng)公式求解) (2)設(shè)圓C上過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x，y)， 因?yàn)镃D⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0， 化簡(jiǎn)得軌跡方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問題時(shí)，注意運(yùn)用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為(x0，y0)， 由得k＝＝－＝－. 該法常用來解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題. 【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A.10 B.20 C.30 D.40 【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為AC＝10，最短弦為BD＝2＝4，S＝ACBD＝20. 總結(jié)提高 1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時(shí)要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡(jiǎn)捷.例如，求圓的弦長(zhǎng)公式比較復(fù)雜，利用l＝2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長(zhǎng)比代數(shù)法要簡(jiǎn)便. 2.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點(diǎn)斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況. 3.處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，特別是有關(guān)交點(diǎn)問題時(shí)，為避免計(jì)算量過大，常采用“設(shè)而不求”的方法.