2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理 蘇教版導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題自主梳理1等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的_，通常用字母_表示(q0)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an_.3等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam_ (n，mN*)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則_(3)若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an (0)，a，anbn，仍是等比數(shù)列(4)單調(diào)性：或an是_數(shù)列；或an是_數(shù)列；q1an是_數(shù)列；q<0an是_數(shù)列5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q (q0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn.6等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_(kāi)自我檢測(cè)1(xx蘇州模擬)如果1，a，b，c，9成等比數(shù)列，那么b_.2(xx湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為a2，a2，a8，則an_.3設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bnan1 (n1,2，)，若數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53，23,19,37,82中，則6q_.4若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3na，數(shù)列an為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)5設(shè)f(n)2242723n1 (nN*)，則f(n)_.探究點(diǎn)一等比數(shù)列的基本量運(yùn)算例1已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a1a52a2a6a3a7100，a2a42a3a5a4a636，求數(shù)列an的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn.變式遷移1在等比數(shù)列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q.探究點(diǎn)二等比數(shù)列的判定例2已知數(shù)列an的首項(xiàng)a15，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn12Snn5，nN*.(1)證明：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式以及Sn.變式遷移2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列探究點(diǎn)三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3在等比數(shù)列an中，a1a2a3a4a58，且2，求a3.變式遷移3(1)已知等比數(shù)列an中，有a3a114a7，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7a7，求b5b9的值；(2)在等比數(shù)列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.分類討論思想與整體思想例(14分)設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為80，它的前2n項(xiàng)和為6 560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的第2n項(xiàng)【答題模板】解設(shè)數(shù)列an的公比為q，若q1，則Snna1，S2n2na12Sn.S2n6 5602Sn160，q1，4分由題意得6分將整體代入得80(1qn)6 560，qn81.8分將qn81代入得a1(181)80(1q)，a1q1，由a1>0，得q>1，數(shù)列an為遞增數(shù)列10分ana1qn1qn8154.12分與a1q1聯(lián)立可得a12，q3，a2n232n1 (nN*)14分【突破思維障礙】(1)分類討論的思想：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q1和q1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)也應(yīng)進(jìn)行討論：當(dāng)a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時(shí)為遞增數(shù)列；當(dāng)a1<0，q>1或a1>0,0<q<1時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)為常數(shù)列(2)函數(shù)的思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1qn (q>0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常把qn，當(dāng)成整體求解本題條件前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54的利用是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)將qn和的值整體代入求解，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，體現(xiàn)了整體代換的思想，在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式分別為ana1qn1，Sn2等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：即證明q (q0，nN*) (q是與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))(2)中項(xiàng)法：證明一個(gè)數(shù)列滿足aanan2 (nN*且anan1an20)3等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)anamqnm (n，mN*)；(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則akalaman；(3)設(shè)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.4在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要對(duì)公比q1或q1作出判斷；計(jì)算過(guò)程中要注意整體代入的思想方法5等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是：(1)若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；(2)若an是等比數(shù)列，且an>0，則lg an構(gòu)成等差數(shù)列(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(xx遼寧)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和已知a2a41，S37，則S5_.2(xx浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2a50，則_.3在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a13，前三項(xiàng)的和S321，則a3a4a5_.4(xx無(wú)錫模擬)等比數(shù)列an前n項(xiàng)的積為Tn，若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是_5記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S32，S618，則_.6設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為_(kāi)7在等比數(shù)列an中，公比q2，前99項(xiàng)的和S9930，則a3a6a9a99_.8(xx福建)在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.二、解答題(共42分)9(12分)(xx陜西)已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和Sn.10(14分)已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)為等差數(shù)列，且a13，a25.(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求的值11(16分)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 010.答案 自主梳理1公比q2.a1qn14.(1)qnm(2)akalaman(4)遞增遞減常擺動(dòng)6.qn自我檢測(cè)13解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac(1)(9)9，b29且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，故b3.28n1解析因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以(a2)2(a2)(a8)，解得a10，a28，q，ana1qn18n1.39解析由題意：等比數(shù)列an有連續(xù)四項(xiàng)在集合54，24，18,36,81中，由等比數(shù)列的定義知：四項(xiàng)是兩個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù)，故24,36，54,81，符合題意，則q，6q9.41解析可用特殊值法，由Sn得a13a，a26，a318，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1.5.(8n11)解析由題意可知，f(n)即為一個(gè)以2為首項(xiàng)，公比q238，項(xiàng)數(shù)為n1的等比數(shù)列的和由公式可得f(n)Sn1(8n11)課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共有a1，an，q，n，Sn五個(gè)量，知道其中任意三個(gè)量，都可以求出其余兩個(gè)量解題時(shí)，將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系，然后利用方程組的思想求解；(2)本例可將所有項(xiàng)都用a1和q表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化，兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化解方法一由已知得：，得4aq664，aq616.代入，得21616q2100.解得q24或q2.又?jǐn)?shù)列an為正項(xiàng)數(shù)列，q2或.當(dāng)q2時(shí)，可得a1，an2n12n2，Sn2n1；當(dāng)q時(shí)，可得a132.an32n126n.Sn6426n.方法二a1a5a2a4a，a2a6a3a5，a3a7a4a6a，由可得即解得或當(dāng)a38，a52時(shí)，q2.q>0，q，由a3a1q28，得a132，an32n126n.Sn6426n.當(dāng)a32，a58時(shí)，q24，且q>0，q2.由a3a1q2，得a1.an2n12n2.Sn2n1.變式遷移1解由題意得解得或若則Sn126，解得q，此時(shí)，an264n1，n6.若則Sn126，q2.an6422n1.n6.綜上n6，q2或.例2解題導(dǎo)引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)基本方法：q (q為與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))(nN*)aanan2 (an0，nN*)(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過(guò)具體的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)不成等比數(shù)列來(lái)證明，也可用反證法解(1)由已知Sn12Snn5，nN*，可得n2時(shí)，Sn2Sn1n4，兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，從而an112(an1)，當(dāng)n1時(shí)，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，從而a212(a11)，故總有an112(an1)，nN*，又a15，a110，從而2，即數(shù)列an1是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)得an162n1，所以an62n11，于是Snn62nn6.變式遷移2解(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a1212；當(dāng)n2時(shí)，a12a2(a1a2)4，a24；當(dāng)n3時(shí)，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n2時(shí)，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列例3解題導(dǎo)引在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度解由已知得2，a4，a32.若a32，設(shè)數(shù)列的公比為q，則22q2q28，即1qq2224.此式顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證，a32符合題意，故a32.變式遷移3解(1)a3a11a4a7，a70，a74，b74，bn為等差數(shù)列，b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.課后練習(xí)區(qū)1.解析an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a41，設(shè)an的公比為q，則q>0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).211解析由8a2a50，得8a1qa1q40，所以q2，則11.384解析由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則211qq27q2q60(q3)(q2)0，根據(jù)題意可知q>0，故q2.所以a3a4a5q2S342184.4T17解析a3a6a18aq2517(a1q8)3a，即a9為定值，所以下標(biāo)和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值533解析因?yàn)榈缺葦?shù)列an中有S32，S618，即1q39，故q2，從而1q512533.6127解析公比q416，且q>0，q2，S7127.7.解析S9930，即a1(2991)30，數(shù)列a3，a6，a9，a99也成等比數(shù)列且公比為8，a3a6a9a9930.84n1解析等比數(shù)列an的前3項(xiàng)之和為21，公比q4，不妨設(shè)首項(xiàng)為a1，則a1a1qa1q2a1(1416)21a121，a11，an14n14n1.9解(1)由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列，得，(4分)解得d1或d0(舍去)故an的通項(xiàng)an1(n1)1n.(7分)(2)由(1)知2an2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得Sn222232n2n12.(12分)10(1)證明設(shè)log2(an1)log2(an11)d (n2)，因?yàn)閍13，a25，所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221，(3分)所以log2(an1)n，所以an12n，所以2 (n2)，所以an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(6分)(2)解由(1)可得an1(a11)2n1，所以an2n1，(8分)所以1.(14分)11解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2(d0舍)(2分)an1(n1)22n1.(5分)又b2a23，b3a59，數(shù)列bn的公比為3，bn33n23n1.(8分)(2)由an1得當(dāng)n2時(shí)，an.兩式相減得：當(dāng)n2時(shí)，an1an2.(10分)cn2bn23n1 (n2)又當(dāng)n1時(shí)，a2，c13.cn.(12分)c1c2c3c2 01033(332 010)32 010.(16分)