2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開偶次方根、被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時(shí)，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏對抽象函數(shù)，只要對應(yīng)關(guān)系相同，括號里整體的取值范圍就完全相同問題1函數(shù)f(x)lg(1x)的定義域是_2用換元法求解析式時(shí)，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題問題2已知f(cos x)sin2x，則f(x)_.3分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)問題3已知函數(shù)f(x)那么f()的值為_4判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，有時(shí)還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響問題4f(x)是_函數(shù)(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)5求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“”和“或”連接，可用“及”連接，或用“，”隔開單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替問題5函數(shù)f(x)的減區(qū)間為_6弄清函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反(2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)0.“f(0)0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件問題6設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，且在x0處有意義，則該函數(shù)為()A(，)上的減函數(shù)B(，)上的增函數(shù)C(1,1)上的減函數(shù)D(1,1)上的增函數(shù)7求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)(4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù)(5)換元法(特別注意新元的范圍)(6)分離常數(shù)法：適合于一次分式問題7函數(shù)y(x0)的值域?yàn)開8函數(shù)圖象的幾種常見變換(1)平移變換：左右平移“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移“上加下減”(2)翻折變換：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)對稱變換：證明函數(shù)圖象的對稱性，即證圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點(diǎn)仍在圖象上；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x0 (y軸)對稱；函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線y0(x軸)對稱問題8函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心是_9有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)f(xa)(a>0)，則f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，則f(x)的周期T2a.問題9對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(x2)，若當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)x，則f(2 016.5)_.10二次函數(shù)問題(1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系(2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形問題10若關(guān)于x的方程ax2x10至少有一個(gè)正根，則a的取值范圍為_11(1)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)已知a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0.則loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM，對數(shù)換底公式：logaN.推論：logaN；logab.(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)yax的圖象恒過定點(diǎn)(0,1)，對數(shù)函數(shù)ylogax的圖象恒過定點(diǎn)(1,0)問題11函數(shù)y|log2|x1|的遞增區(qū)間是_12冪函數(shù)yx(R)(1)若1，則yx，圖象是直線當(dāng)0時(shí)，yx01(x0)圖象是除點(diǎn)(0,1)外的直線當(dāng)0<<1時(shí)，圖象過(0,0)與(1,1)兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)是上凸的當(dāng)>1時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象是下凸的(2)增減性：當(dāng)>0時(shí)，在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yx是增函數(shù)；當(dāng)<0時(shí)，在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yx是減函數(shù)問題12函數(shù)f(x)xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_13函數(shù)與方程(1)對于函數(shù)yf(x)，使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)事實(shí)上，函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)根(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此時(shí)這個(gè)c就是方程f(x)0的根反之不成立問題13已知定義在R上的函數(shù)f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函數(shù)yg(x)的圖象是一條連續(xù)曲線，則方程f(x)0在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有實(shí)數(shù)根()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)14求導(dǎo)數(shù)的方法(1)基本導(dǎo)數(shù)公式：c0 (c為常數(shù))；(xm)mxm1 (mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ex)ex；(ax)axln a；(ln x)；(logax)(a>0且a1)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yxyuux.如求f(axb)的導(dǎo)數(shù)，令uaxb，則(f(axb)f(u)a.問題14f(x)e2x，則f(x)_.15利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)注意：如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍，那么不等式f(x)0恒成立，但要驗(yàn)證f(x)是否恒等于0.增函數(shù)亦如此問題15函數(shù)f(x)ax32x2x1在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_16導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如：函數(shù)f(x)x3，有f(0)0，但x0不是極值點(diǎn)問題16函數(shù)f(x)x4x3的極值點(diǎn)是_17定積分運(yùn)用微積分基本定理求定積分f(x)dx值的關(guān)鍵是用求導(dǎo)公式逆向求出f(x)的原函數(shù)，應(yīng)熟練掌握以下幾個(gè)公式：xndx|，sin xdxcos x|，cos xdxsin x|，dxln x|(b>a>0)，axdx|.問題17計(jì)算定積分(x2sin x)dx_.例1函數(shù)ylog(x25x6)的單調(diào)遞增區(qū)間為_錯(cuò)因分析忽視對函數(shù)定義域的要求，漏掉條件x25x6>0.解析由x25x60知x|x3或x2令ux25x6，則ux25x6在(，2)上是減函數(shù)，ylog(x25x6)的單調(diào)增區(qū)間為(，2)答案(，2)易錯(cuò)點(diǎn)2分段函數(shù)意義理解不準(zhǔn)確例2定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(2 016)的值為()A1 B0 C1 D2錯(cuò)因分析不理解分段函數(shù)的意義，誤認(rèn)為應(yīng)將x2 016，代入log2(1x)，或者認(rèn)為得不到f(2 016)的值解析f(2 016)f(2 015)f(2 014)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 010)f(0)0.答案B例3函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)，則a的取值范圍是_錯(cuò)因分析只考慮分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況，忽視對定義域的臨界點(diǎn)處函數(shù)值的要求解析若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則有解之得a；若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有解得1a，故a的取值范圍是(，(1，答案(，(1，易錯(cuò)點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)求解討論不全面例4函數(shù)f(x)mx22x1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，1 B(，01C(，0)1 D(，1)錯(cuò)因分析解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有分類討論不全面、函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)，如忽視對m0的討論，就會錯(cuò)選C.解析當(dāng)m0時(shí)，x為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，若0，即m1時(shí)，x1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，若0，顯然x0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)mx22x10有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，即mf(0)0，即m0.故選B.答案B易錯(cuò)點(diǎn)4混淆“過點(diǎn)”和“切點(diǎn)”例5求過曲線y3xx3上的點(diǎn)(2，2)的切線方程錯(cuò)因分析混淆過一點(diǎn)的切線和在一點(diǎn)處切線，錯(cuò)誤認(rèn)為(2，2)一定是切點(diǎn)解設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則點(diǎn)P處的切線方程是yy0(33x)(xx0)點(diǎn)A在切線上，2y0(33x)(2x0)又點(diǎn)P在曲線C上，y03x0x.由、，解得x02或x01.當(dāng)x02時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，切線方程是9xy160.當(dāng)x01時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，切線方程是y20.綜上，過點(diǎn)A的曲線C的切線方程是：9xy160或y20.易錯(cuò)點(diǎn)5極值點(diǎn)條件不清例6已知f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值為10，則ab_.錯(cuò)因分析把f(x0)0作為x0為極值點(diǎn)的充要條件，沒有對a，b值進(jìn)行驗(yàn)證，導(dǎo)致增解解析f(x)3x22axb，由x1時(shí)，函數(shù)取得極值10，得聯(lián)立得或當(dāng)a4，b11時(shí)，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1兩側(cè)的符號相反，符合題意當(dāng)a3，b3時(shí)，f(x)3(x1)2在x1兩側(cè)的符號相同，所以a3，b3不符合題意，舍去綜上可知a4，b11，ab7.答案7易錯(cuò)點(diǎn)6函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系理解不準(zhǔn)確例7函數(shù)f(x)ax3x2x5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_錯(cuò)因分析誤認(rèn)為f(x)0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件，漏掉f(x)0的情況解析f(x)ax3x2x5的導(dǎo)數(shù)f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案a易錯(cuò)點(diǎn)7計(jì)算定積分忽視細(xì)節(jié)例8dx等于()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 2錯(cuò)題分析本題易出現(xiàn)的問題主要有兩個(gè)方面：一是混淆求原函數(shù)和求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，誤認(rèn)為原函數(shù)為y()而找不到答案；二是記錯(cuò)公式，把積分的上、下限顛倒導(dǎo)致計(jì)算失誤，而錯(cuò)選C.解析因?yàn)?ln x)，所以y的一個(gè)原函數(shù)是yln x，故dxln x|ln 4ln 2ln 2，故選D.答案D1(xx北京)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)2(xx山東)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A. B(2，)C.(2，) D.2，)3下列各式中錯(cuò)誤的是()A0.83>0.73 Blog0.50.4>log0.50.6C0.750.1<0.750.1 Dlg 1.6>lg 1.44a是f(x)2xlogx的零點(diǎn)，若0x0a，則f(x0)的值滿足()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)的符號不確定5(xx天津)函數(shù)f(x)log(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)6已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是()7(xx福建)已知函數(shù)f(x)則下列結(jié)論正確的是()Af(x)是偶函數(shù) Bf(x)是增函數(shù)Cf(x)是周期函數(shù) Df(x)的值域?yàn)?，)8若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(，0上是減函數(shù)，且f(2)0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是_9已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_10(xx江蘇)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_11已知函數(shù)f(x)x2(x0，aR)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍12已知函數(shù)f(x)ln(ax)(a0，aR)，g(x).(1)當(dāng)a1時(shí)，記(x)f(x)，求函數(shù)(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)g(x)(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍學(xué)生用書答案精析2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)要點(diǎn)回扣問題1(1,1)(1，)問題21x2(x1,1)問題3問題4奇解析由得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)問題5(，0)，(0，)問題6D由題意可知f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg ，函數(shù)f(x)的定義域是(1,1)，在此定義域內(nèi)f(x)lg lg(1x)lg(1x)，函數(shù)y1lg(1x)是增函數(shù)，函數(shù)y2lg(1x)是減函數(shù)，故f(x)y1y2是增函數(shù)選D.問題7解析方法一x0，2x1，1，解得y<1.其值域?yàn)閥.方法二y1，x0，0<，y.問題8(1,2)問題9問題10問題110,1)，2，)解析y作圖可知正確答案為0,1)，2，)問題121問題13Bf(x)(x2)(x1)g(x)3x4，f(1)03141<0，f(2)2342>0.又函數(shù)yg(x)的圖象是一條連續(xù)曲線，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)因此方程f(x)0在(1,2)內(nèi)必有實(shí)數(shù)根問題142e2x問題15a解析f(x)ax32x2x1的導(dǎo)數(shù)f(x)3ax24x1.由f(x)0，得解得a.a時(shí)，f(x)(2x1)20，且只有x時(shí)，f(x)0，a符合題意問題16x1問題17解析(x2sin x)dx.查缺補(bǔ)漏1AA項(xiàng)，函數(shù)y在1，)上為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0，)上為增函數(shù)，故正確；B項(xiàng)，函數(shù)y(x1)2在(，1)上為減函數(shù)，在1，)上為增函數(shù)，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，函數(shù)y2x()x在R上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，函數(shù)ylog0.5(x1)在(1，)上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤2C由題意知解得x>2或0<x<.故選C.3C構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決，對于A，構(gòu)造冪函數(shù)yx3，為增函數(shù)，故A對；對于B、D，構(gòu)造對數(shù)函數(shù)ylog0.5x為減函數(shù)，ylg x為增函數(shù)，B、D都正確；對于C，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y0.75x，為減函數(shù)，故C錯(cuò)4B函數(shù)f(x)2xlogx2xlog2x在(0，)上是單調(diào)遞增的，這個(gè)函數(shù)有零點(diǎn)，這個(gè)零點(diǎn)是唯一的，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，知在(0，a)上，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值小于零，即f(x0)0.5D因?yàn)閥logt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx24的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(，2)6A從導(dǎo)函數(shù)圖象上可以看出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，2)，(0，)，故函數(shù)圖象最有可能是選項(xiàng)A中的圖象7D函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確8(2,2)解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|)因?yàn)閒(x)<0，f(2)0.所以f(|x|)<f(2)又因?yàn)閒(x)在(，0上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以|x|<2，所以2<x<2.9(1，)解析方程f(x)xa0的實(shí)根也就是函數(shù)yf(x)與yax的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，作出兩個(gè)函數(shù)圖象，顯然當(dāng)a1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a>1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)只有一個(gè)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)10(，0)解析作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對于任意xm，m1，都有f(x)<0，則有即解得<m<0.11解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)要使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需當(dāng)x2時(shí)，f(x)0恒成立，即2x0，則a2x3，又因?yàn)?x316.故當(dāng)a16時(shí)，f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)12解(1)當(dāng)a1時(shí)，(x)f(x)ln x，則(x).因?yàn)閤>0且x1，所以(x)>0.故函數(shù)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1，)(2)因?yàn)閘n(ax)對x1恒成立，所以ln aln x，即ln a1ln x對x1恒成立令h(x)1ln x，則h(x)，因?yàn)閤1，故h(x)0.所以h(x)在區(qū)間1，)上單調(diào)遞減，由ln ah(x)maxh(1)0，解得a1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)