2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性.doc
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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 最新考綱 1.結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性． 知 識 梳 理 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關于原點對稱 2.奇(偶)函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定義域內 ①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)． ②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)． ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)． (3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0. 3．周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號內打“√”或“”) 精彩PPT展示 (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．() (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．() (3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(√) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(√) 2．(xx廣東卷)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) A.y＝2x－ B．y＝x3sin x C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x 解析 易知y＝2x－是奇函數(shù)，y＝x3sin x和y＝2cos x＋1是偶函數(shù)，y＝x2＋2x是非奇非偶函數(shù)，故選A. 答案 A 3．(xx新課標全國Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是( ) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 解析 依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯；|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B錯；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C正確； |f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯． 答案 C 4．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(2 015)等于( ) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(2 015)＝f(5034＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－212＝－2， 即f(2 015)＝－2. 答案 A 5．(人教A必修1P39A6改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x＜0時，f(x)＝________. 解析 當x＜0時，則－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)． 答案 x(1－x) 考點一 函數(shù)奇偶性的判斷 例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝xlg(x＋)； (2)f(x)＝(1－x)； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝. 解 (1)∵＞|x|≥0， ∴函數(shù)f(x)的定義域為R，關于原點對稱， 又f(－x)＝(－x)lg(－x＋) ＝－xlg(－x) ＝xlg(＋x)＝f(x)． 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)． (2)當且僅當≥0時函數(shù)有意義， ∴－1≤x＜1， 由于定義域關于原點不對稱， ∴函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)． (3)函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱， 當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)是奇函數(shù)． (4)∵?－2≤x≤2且x≠0， ∴函數(shù)的定義域關于原點對稱． ∴f(x)＝＝， 又f(－x)＝＝－， ∴f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)是奇函數(shù)． 規(guī)律方法 判斷函數(shù)的奇偶性，包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立． 【訓練1】 (1)(xx鄭州質量預測)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)上單調遞增的是( ) A．y＝log2|x| B．y＝cos 2x C．y＝ D．y＝log2 (2)(xx日照模擬)函數(shù)f(x)＝log2(x＋)(x∈R)與g(x)＝lg |x－2|分別為________和________函數(shù)(填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”)． 解析 (1)對于A，函數(shù)y＝log2|x|是偶函數(shù)且在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù)；對于B，函數(shù)y＝cos 2x在區(qū)間(1,2)上不是增函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝不是偶函數(shù)；對于D，函數(shù)y＝log2不是偶函數(shù)，故選A. (2)法一 易知f(x)的定義域為R. ∵f(－x)＝log2[－x＋]＝log2 ＝－log2(x＋)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． 對于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2. ∴g(x)的定義域為{x|x≠2}． ∵g(x)的定義域關于原點不對稱， ∴g(x)為非奇非偶函數(shù)． 法二 易知f(x)的定義域為R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋]＋ log2(x＋)＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)． 對于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2. ∴g(x)的定義域為{x|x≠2}． ∵g(x)的定義域關于原點不對稱， ∴g(x)為非奇非偶函數(shù)． 答案 (1)A (2)奇函數(shù) 非奇非偶 考點二 函數(shù)周期性的應用 例2 (1)(xx安徽卷)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________. (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝________. 解析 (1)由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin ＝. (2)由f(x＋2)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2) ＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)的周期為4， ∴f(105.5)＝f(427－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5. 答案 (1) (2)2.5 規(guī)律方法 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質．對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值． 【訓練2】 (xx長春一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)．若當x∈[0,1)時，f(x)＝2x－1，則f(6)的值為( ) A．－ B．－5 C．－ D．－6 解析 ∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)． ∴f(6)＝f ＝f＝－f ＝－(2log2－1)＝－. 答案 C 考點三 函數(shù)性質的綜合應用 例3 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( ) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (2)(xx新課標全國Ⅱ卷)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________. 解析 (1)∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)． (2)因為f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，則f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3. 答案 (1)D (2)3 規(guī)律方法 比較不同區(qū)間內的自變量對應的函數(shù)值的大小．對于偶函數(shù)，如果兩個自變量的取值在關于原點對稱的兩個不同的單調區(qū)間上，即正負不統(tǒng)一，應利用圖象的對稱性將兩個值化歸到同一個單調區(qū)間，然后再根據(jù)單調性判斷． 【訓練3】 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，則a的取值范圍是( ) A．[1,2] B． 深度思考 你知道奇偶性與單調性的關系了嗎(奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反)？在解決有關偶函數(shù)問題時，常利用f(x)＝f(|x|)這一結論進行轉化. C. D．(0,2] 解析 因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，又因為a＝－log2a，且f(x)是偶函數(shù)，所以f(log2a)＋f(a)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)，又函數(shù)在[0，＋∞)上單調遞增，所以0≤|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2. 答案 C [思想方法] 1．奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要方法之一，為了便于判斷，有時需要將函數(shù)進行化簡，或應用定義的變通形式：f(－x)＝f(x)?f(－x)f(x)＝0?＝1(f(x)≠0)． 2．已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)問題的一般思路是：利用函數(shù)的奇偶性的定義，轉化為f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))對x∈R恒成立，從而可輕松建立方程，通過解方程，使問題獲得解決． 3．若對于函數(shù)f(x)的定義域內任一個自變量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常數(shù)且a≠0)，則f(x)是一個周期為2a的周期函數(shù)． [易錯防范] 1．在用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷時，要注意自變量在定義域內的任意性．不能因為個別值滿足f(－x)＝f(x)，就確定函數(shù)的奇偶性． 2．分段函數(shù)奇偶性判定時，要以整體的觀點進行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域的奇偶性． 3．函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx重慶卷)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( ) A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 解析 函數(shù)f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，排除選項A和選項B；選項C中f(x)＝2x－2－x，則f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x為奇函數(shù)，排除選項C；選項D中f(x)＝2x＋2－x，則f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故選D. 答案 D 2．(xx烏魯木齊診斷)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，則( ) A．f(3)
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