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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章8.3 圓的方程 考綱要求 掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程． 知識梳理 1．圓的定義 在平面內(nèi)，到____的距離等于____的點(diǎn)的____叫做圓． 確定一個(gè)圓最基本的要素是____和____． 2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中______為圓心，____為半徑長． 特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程為________． 3．圓的一般方程 對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. (1)當(dāng)____________時(shí)，表示圓心為，半徑長為的圓； (2)當(dāng)____________時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； (3)當(dāng)____________時(shí)，它不表示任何圖形； (4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，點(diǎn)M(x0，y0)， (1)點(diǎn)在圓上：____________________； (2)點(diǎn)在圓外：____________________； (3)點(diǎn)在圓內(nèi)：____________________. 基礎(chǔ)自測 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是(　　)． A．＜m＜1 B．m＞1 C．m＜ D．m＜或m＞1 2．圓心在y軸上，半徑長為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程是(　　)． A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 3．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a(chǎn)＞1或a＜－1 D．a(chǎn)＝1 4．圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝__________. 思維拓展 1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否都表示一個(gè)圓？ 提示：對于該二元二次方程，只有當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，才表示一個(gè)圓； 當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示點(diǎn)；當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，不表示任何圖形． 2．求圓的方程時(shí)，應(yīng)注意什么？ 提示：圓的方程由圓心坐標(biāo)和半徑確定．求圓的方程可從確定這兩個(gè)條件入手，也可先用待定系數(shù)法設(shè)出其方程，再確定其中的參數(shù)．一般地，若利用半徑列方程，通常設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式；否則，設(shè)成一般式．無論選用哪種形式，最多需要三個(gè)獨(dú)立的條件． 一、求圓的方程 【例1－1】求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程． 【例1－2】已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，問這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上？為什么？ 方法提煉常見的求圓的方程的方法有兩種：一是利用圓的幾何特征，求出圓心坐標(biāo)和半徑長，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是利用待定系數(shù)法，它的應(yīng)用關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程．如果給定的條件易求圓心坐標(biāo)和半徑長，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程求解；如果所給條件與圓心、半徑關(guān)系不密切或涉及圓上多點(diǎn)，常選用一般方程求解． 請做[針對訓(xùn)練]3 二、與圓有關(guān)的最值問題 【例2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 方法提煉處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型： ①形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題； ②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題； ③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題． 請做[針對訓(xùn)練]5 三、與圓有關(guān)的軌跡問題 【例3】如下圖所示，圓O1和圓O2的半徑長都等于1，|O1O2|＝4.過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N為切點(diǎn))，使得|PM|＝|PN|.試建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 方法提煉1．解答與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；代入法，找到所求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．此外還有交軌法、參數(shù)法等．不論哪種方法，充分利用圓的幾何性質(zhì)，找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 2．求與圓的軌跡問題時(shí)，題目的設(shè)問有兩種常見形式，作答也應(yīng)有不同：若求軌跡方程，把方程求出化簡即可；若求軌跡，則必須根據(jù)軌跡方程，指出軌跡是什么樣的曲線． 請做[針對訓(xùn)練]4 考情分析 通過分析近幾年的高考試題可以看出，對于本節(jié)內(nèi)容的考查主要側(cè)重以下兩點(diǎn)：(1)利用配方法把圓的一般式方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式方程，并能指出圓心坐標(biāo)及半徑長；(2)求圓的方程，方法主要有配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等．考查的形式以選擇題、填空題為主． 針對訓(xùn)練 1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是(　　)． A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 2．(xx安徽高考，文4)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　)． A．－1 B．1 C．3 D．－3 3．求半徑為，圓心在直線y＝2x上，被直線x－y＝0截得的弦長為4的圓的方程． 4．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡． 5．如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值與最小值． 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理 1．定點(diǎn)　定長　集合　圓心　半徑 2．(a，b)　r　x2＋y2＝r2 3．(1)D2＋E2－4F＞0　(2)D2＋E2－4F＝0　(3)D2＋E2－4F＜0　(4)①A＝C≠0?、贐＝0　③D2＋E2－4AF＞0 4．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 基礎(chǔ)自測 1．D　解析：方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是(4m)2＋(－2)2－45m＞0，即m＜或m＞1. 2．A　解析：設(shè)圓心為(0，a)，則＝1， ∴a＝2.故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 3．A　解析：∵點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1. 4．3　解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1， ∴其圓心為(1,2)． ∴圓心C到直線的距離為＝3. 考點(diǎn)探究突破 【例1－1】解：方法一：∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)， ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上． 線段AB的垂直平分線的方程為y＝－(x－4)． 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C(a，b)，則有 解得 ∴C(2,1)，r＝|CA|＝＝. ∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 方法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則 解得 ∴圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 方法三：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 則 解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5. ∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0. 【例1－2】解：設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.則解此方程組，得 所以，經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5. 把點(diǎn)D的坐標(biāo)(－1,2)代入上面方程的左邊，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上，故A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝5. 【例2】解：(1)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑長的圓.的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)＝，解得k＝. 所以的最大值為，最小值為－. (2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2. 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值． 又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 【例3】解：以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則O1(－2,0)，O2(2,0)． 由已知|PM|＝|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因?yàn)閮蓤A的半徑長均為1， 所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 化簡，得(x－6)2＋y2＝33，所以所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33. 演練鞏固提升 針對訓(xùn)練 1．D　解析：∵x2＋y2－4x＋6y＝0可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13， ∴圓心坐標(biāo)為(2，－3)． 2．B　解析：圓x2＋y2＋2x－4y＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圓心(－1,2)． ∵直線過圓心，∴將(－1,2)代入直線3x＋y＋a＝0，可得a＝1. 3．解：設(shè)圓心C(a,2a)， 圓心到直線x－y＝0的距離為d， 則d＝＝|a|. ∵r＝， 由垂徑定理知＝2，即10－a2＝8，∴a2＝4.∴a＝2. 故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－4)2＝10，或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 4．解：設(shè)M(x，y)，A(x0，y0)， 則有x＝，y＝. ∴x0＝2x－4，y0＝2y－3. 又A(x0，y0)在圓(x＋1)2＋y2＝4上， ∴(x0＋1)2＋＝4. ∴(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，即2＋2＝1. 故AB的中點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，以1為半徑長的圓． 5．解：設(shè)x＋y＝b，則y＝－x＋b，由圖知，當(dāng)直線與圓C相切時(shí)，截距b取最值．而圓心C到直線y＝－x＋b的距離為d＝. 因?yàn)楫?dāng)＝，即b＝62時(shí)，直線y＝－x＋b與圓C相切，所以x＋y的最大值與最小值分別為6＋2與6－2.