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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第十章10.2 古典概型與幾何概型教案 理 北師大版 考綱要求 1．理解古典概型及其概率計算公式． 2．會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 3．了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率． 4．了解幾何概型的意義． 知識梳理 1．基本事件有如下特點： (1)任何兩個基本事件是______的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________． 2．古典概型 一般地，一次試驗有下面兩個特征： (1)有限性，即在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件； (2)等可能性，每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，稱具有這兩個特點的概率模型為古典概型． 判斷一個試驗是否是古典概型，在于該試驗是否具有古典概型的兩個特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性． 3．古典概型的概率公式 如果一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是______；如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝______. 4．幾何概型 向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的________成正比，而與G的形狀、位置無關，即P(點M落在G1)＝____________， 則稱這種模型為幾何概型． 幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是________之比或________之比． 5．幾何概型的特點 一是__________，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)是無限的； 二是________，即每一個事件發(fā)生的可能性是均等的． 6．幾何概型的試驗中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關． 求試驗中幾何概型的概率，關鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域Ω的幾何度量，然后代入公式即可求解． 7．用隨機數(shù)估計事件發(fā)生的概率：利用計算機或計算器產(chǎn)生一些滿足一定條件的數(shù)，其中每一個數(shù)產(chǎn)生的機會是一樣的，通過模擬一些試驗，可以替代我們進行大量的重復試驗，從而估計得到事件的概率． 基礎自測 1．有100張卡片(從1號到100號)，從中任取1張，取到卡號是7的倍數(shù)的概率為(　　)． A． B． C． D． 2．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b＞a的概率是(　　)． A． B． C． D． 3．一根木棒長5米，從任意位置砍斷，則截得兩條木棒都大于2米的概率為(　　)． A． B． C． D． 4．有一杯1 L的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1 L水，則小杯水中含有這個細菌的概率為(　　)． A．0 B．0.1 C．0.01 D．1 5．四邊形ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為(　　)． A． B．1－ C． D．1－ 6．盒子中共有大小相同的3個白球，1個黑球，若從中隨機摸出兩個球，則它們顏色不同的概率是__________． 思維拓展 1．是不是所有的試驗都是古典概型？ 提示：不是．在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，并且每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，這樣的試驗才是古典概型． 2．怎樣理解古典概型中每個基本事件的等可能性？ 提示：就是試驗的每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的．例如先后拋擲兩枚均勻的硬幣，共出現(xiàn)“正、正”，“正、反”，“反、正”，“反、反”這四種等可能的結(jié)果．如果認為只有“兩個正面”，“兩個反面”、“一正一反”這三種結(jié)果，那么顯然這三種結(jié)果不是等可能的． 3．幾何概型與古典概型有何區(qū)別與聯(lián)系？ 提示：幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗結(jié)果不是有限個，其特點是它的試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以幾何概型的概率的大小與該事件所在區(qū)域的形狀和位置無關，只與該區(qū)域的大小有關．利用幾何概型的概率公式P(A)＝，求概率的思路與古典概型的概率求解思路一樣，都屬于“比例解法”． 一、古典概型及其概率計算 【例1】袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球． (1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？ (2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？ 方法提煉1．判斷一個概率問題是否為古典概型，關鍵是看它是否同時滿足兩個特征：有限性和等可能性，同時滿足這兩個特征的概率模型才是古典概型． 2．求古典概型的概率時，一般是先用列舉法把試驗所包含的基本事件一一列舉出來，然后再找出所求事件A所包含的基本事件的個數(shù)，利用公式P(A)＝即可求得事件A的概率． 請做[針對訓練]1 二、古典概型的應用 【例2－1】甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張． (1)設(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況； (2)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝，你認為此游戲是否公平，說明你的理由． 【例2－2】設平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}． (1)請列出有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果； (2)記“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率． 方法提煉列舉法可以使我們明確基本事件的構(gòu)成情況，該法適用于基本事件的個數(shù)較少的情況．列舉時要按規(guī)律分類列舉，以避免重復或遺漏的情況出現(xiàn)． 請做[針對訓練]2 三、幾何概型及其應用 【例3－1】在鑄鐵過程中，經(jīng)常出現(xiàn)鑄件里面混入氣泡的情況，但是如果在加工過程中氣泡不暴露在表面，對產(chǎn)品就不會造成影響，否則產(chǎn)品就會不合格．在一個棱長為4 cm的正方體鑄件中不小心混入一個半徑為0.1 cm的球形氣泡，在加工這個鑄件的過程中，如果將鑄件去掉0.5 cm的厚度后產(chǎn)品外皮沒有麻眼(即沒有露出氣泡)，產(chǎn)品就合格，問產(chǎn)品合格的概率是多少？ 【例3－2】已知關于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0. (1)若a，b是一枚骰子先后投擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩個正實數(shù)根的概率； (2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程沒有實數(shù)根的概率． 方法提煉1．幾何概型的特征：一是基本事件的無窮性，二是基本事件的等可能性．常見的幾何概型問題有：與長度有關的幾何概型，與面積有關的幾何概型，與體積有關的幾何概型． 2．解決幾何概型問題的一般步驟： (1)明確取點的區(qū)域Ω；(2)確定所求概率的事件中的點的區(qū)域A；(3)計算區(qū)域Ω和區(qū)域A的幾何度量μΩ和μA；(4)計算所求問題的概率P(A)＝. 請做[針對訓練]3 考情分析 從近三年的高考試題來看，古典概型與幾何概型是高考中經(jīng)常考查的內(nèi)容．其中，古典概型還是考查概率知識的重點．題型可以涉及選擇題、填空題和解答題等多種形式，題目難度以中低檔為主． 針對訓練 1．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為(　　)． A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15 2．(xx陜西高考，理10)甲乙兩人一起去游“xx西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是(　　)． A． B． C． D． 3．(xx福建高考，理4)如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　)． A． B． C． D． 4．設關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． 參考答案 基礎梳理自測 知識梳理 1．(1)互斥　(2)基本事件的和 3．　 4．面積　　體積　長度 5．無限性　等可能性 基礎自測 1．A　解析：有100張卡片(從1號到100號)，從中任取1張，有100種取法，而卡號是7的倍數(shù)的有14種，所以概率為. 2．D　解析：基本事件共有53＝15種，其中滿足b＞a的有b＝2，a＝1；b＝3，a＝1；b＝3，a＝2，共3種，所以b＞a的概率為＝. 3．A　解析：滿足條件的砍斷點應落在2＜x＜3的位置上，即1米長的線段上，故所求事件的概率為. 4．B　解析：小杯水含有這個細菌的概率為P＝＝0.1. 5．B　解析：如圖，要使圖中的點到O的距離大于1，則該點需取在圖中陰影部分，故概率為P＝＝1－. 6．　解析：基本事件總數(shù)為6種情況，其中顏色不同的共有3種情況，所以所求概率為P＝＝. 考點探究突破 【例1】解：(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法．又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型． (2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為，而白球有5個，故一次摸球摸中白球的可能性為，同理可知摸中黑球、紅球的可能性均為，顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型． 【例2－1】解：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4′表示，紅桃2，紅桃3，紅桃4分別用2,3,4表示)為：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12種不同情況． (2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為. (3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5種，甲勝的概率為P1＝，乙勝的概率為P2＝， ∵＜，∴此游戲不公平． 【例2－2】解：(1)有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果為： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個． (2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0， 即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4)，共2個．又基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率為P(A)＝＝. 【例3－1】解：記產(chǎn)品合格為事件A，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域是棱長為4 cm的正方體．由條件可以發(fā)現(xiàn)要使產(chǎn)品合格，球心距離正方體表面要大于0.6 cm，所以球心必須在正方體內(nèi)的一個棱長為2.8 cm的正方體內(nèi)部才符合題意，所以構(gòu)成事件A的區(qū)域是棱長為2.8 cm的正方體，這樣產(chǎn)品合格的概率P(A)＝＝0.343. 【例3－2】解：(1)基本事件(a，b)共有36個，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有兩個正實數(shù)根等價于a－2＞0,16－b2＞0，△≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16. 設“一元二次方程有兩個正實數(shù)根”為事件A，則事件A所包含的基本事件數(shù)為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4個，故所求的概率為P(A)＝＝. (2) 試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面積為S(Ω)＝16. 設“一元二次方程無實數(shù)根”為事件B，則構(gòu)成事件B的區(qū)域為B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面積為S(B)＝π42＝4π， 故所求的概率為P(B)＝＝. 演練鞏固提升 針對訓練 1．B　解析：由題意可知，在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的隨機數(shù)為191,271,932,812,393，共5組隨機數(shù)，故所求概率為＝0.25. 2．D　解析：∵甲、乙參觀每一個景點是隨機且獨立的，∴在最后一個小時參觀哪一個景點是等可能的， ∴甲有6種可能性，乙也有6種可能性，基本事件空間總數(shù)n＝36，事件“二人同在一個景點參觀”的基本事件數(shù)m＝6，由古典概型概率公式得P＝＝. 3．C　解析：由題意知，該題考查幾何概型，故P＝＝＝. 4．解：設事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”． 當a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個： (0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)． 其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為 P(A)＝＝. (2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}． 構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}． 所以所求的概率為 P(A)＝＝.