2019-2020年高中數(shù)學 2.2.1 拋物線及其標準方程二教案 北師大選修1-1 教學過程： 一、引入： 問題：到定點距離與到定直線距離之比是定值e的點的軌跡，當0<e<1時是橢圓，此時自然想到，當e=1時軌跡是什么？ 若一動點到定點F的距離與到一條定直線的距離之比是一個常數(shù)時，那么這個點的軌跡是什么曲線？ 把一根直尺固定在圖板上直線L位置，把一塊三角板的一條直角邊緊靠著真心直尺的邊緣,再把一條細繩的一端固定在三角板的另一條直角邊的一點A，取繩長等于點A到直角標頂點C的長（即點A到直線L的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F 用鉛筆尖扣著繩子，使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線 二、講解新課： 1. 拋物線定義： 平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線 2．推導拋物線的標準方程： 如圖所示，建立直角坐標系系，設|KF|=（>0）,那么焦點F的坐標為，準線的方程為， 設拋物線上的點M（x,y），則有 化簡方程得 方程叫做拋物線的標準方程 （1）它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是 （2）一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下 3．拋物線的準線方程：如圖所示，分別建立直角坐標系，設出|KF|=（>0），則拋物線的標準方程如下： (1), 焦點:，準線： (2), 焦點:，準線： (3), 焦點:，準線： (4) , 焦點:，準線： 相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標軸；(3)準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即 不同點：(1)圖形關于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為，左端為 （2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時，焦點在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在X軸（或Y軸）負向時，焦點在X軸（或Y軸）負半軸時，方程右端取負號 點評：（1）建立坐標系是坐標法的思想基礎，但不同的建立方式使所得的方程繁簡不同，布置學生自己寫出推導過程并與課文對照可以培養(yǎng)學生動手能力、自學能力，提高教學效果 ，進一步明確拋物線上的點的幾何意義 （2）猜想是數(shù)學問題解決中的一類重要方法，請同學們根據推導出的（1）的標準方程猜想其它幾個結論，非常有利于培養(yǎng)學生歸納推理或類比推理的能力，幫助他們形成良好的直覺思維—數(shù)學思維的一種基本形式 另外讓學生推導和猜想出拋物線標準方程所有的四種形式，也比老師直接寫出這些方程給學生帶來的理解和記憶的效果更好 （3）對四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程進行完整的歸納小結，讓學生通過對比分析全面深刻地理解和掌握它們 三、講解范例： 例1 （1）已知拋物線標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程 　 （2）已知拋物線的焦點坐標是F（0，－2），求它的標準方程 分析：（1）在標準方程下焦點坐標和準線方程都是用p的代數(shù)式表示的，所以只要求出p即可； 　?。?）求的是標準方程，因此所指拋物線應過原點，結合焦點坐標求出p，問題易解。 解析：（1）p＝3，焦點坐標是（，0）準線方程是x＝－． （2）焦點在y軸負半軸上，＝2， 所以所求拋物線的標準議程是． 例2 已知拋物線的標準方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦點坐標和準線方程． 分析：這是關于拋物線標準方程的基本例題，關鍵是（1）根據示意圖確定屬于哪類標準形式，（2）求出參數(shù)p的值． 解：（1）p＝6，焦點坐標是（3，0）準線方程是x＝－3． （2）先化為標準方程，，焦點坐標是（0，）， 準線方程是y＝－. 例3 求滿足下列條件的拋物線的標準方程： （1）焦點坐標是F（－5，0） （2）經過點A（2，－3） 分析：拋物線的標準方程中只有一個參數(shù)p，因此，只要確定了拋物線屬于哪類標準形式，再求出p值就可以寫出其方程，但要注意兩解的情況（如第（2）小題）. 解：（1）焦點在x軸負半軸上，＝5， 所以所求拋物線的標準議程是． （2）經過點A（2，－3）的拋物線可能有兩種標準形式： y2＝2px或x2＝－2py． 點A（2，－3）坐標代入，即9＝4p，得2p＝ 點A（2，－3）坐標代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝ ∴所求拋物線的標準方程是y2＝x或x2＝－y 四、課堂練習： 1．求下列拋物線的焦點坐標和準線方程 （1）y2＝8x （2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0 （4） 2．根據下列條件寫出拋物線的標準方程 （1）焦點是F（－2，0） （2）準線方程是 （3）焦點到準線的距離是4，焦點在y軸上 （4）經過點A（6，－2） 3．拋物線x2＝4y上的點p到焦點的距離是10，求p點坐標 課堂練習答案： 1．（1）F（2，0），x＝－2 （2）（0，1），y＝－1 （3）（，0），x＝ （4）（0，），y＝ 2．（1）y2＝－8x （2）x2＝－y （3）x2＝8y或x2＝－8y （4）　或　 3．（6，9） 點評：練習時注意（1）由焦點位置或準線方程正確判斷拋物線標準方程的類型；（2）p表示焦點到準線的距離故p＞0；（3）根據圖形判斷解有幾種可能 五、小結 ：小結拋物線的定義、焦點、準線及其方程的概念； 六、課后作業(yè)： 七、板書設計（略） 八、課后記：