2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第7講正態(tài)分布教案 理 新人教版【xx年高考會(huì)這樣考】利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】掌握好正態(tài)密度曲線(xiàn)的特點(diǎn)，尤其是其中的參數(shù)、的含義，會(huì)由其對(duì)稱(chēng)性求解隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率基礎(chǔ)梳理1正態(tài)曲線(xiàn)及性質(zhì)(1)正態(tài)曲線(xiàn)的定義函數(shù)，(x)e，x(，)，其中實(shí)數(shù)和(>0)為參數(shù)，我們稱(chēng)，(x)的圖象(如圖)為正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn)(2)正態(tài)曲線(xiàn)的解析式指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x(，)解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：和，其中可取任意實(shí)數(shù)，0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)解析式前面有一個(gè)系數(shù)為，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為. 六條性質(zhì)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)正態(tài)曲線(xiàn)，(x)e，xR有以下性質(zhì)：(1)曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)；(3)曲線(xiàn)在x處達(dá)到峰值；(4)曲線(xiàn)與x軸圍成的圖形的面積為1；(5)當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)隨著的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由確定，越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散 三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)求隨機(jī)變量的概率落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)雙基自測(cè)1設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線(xiàn)是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)e，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A10與8 B10與2 C8與10 D2與10解析由ee，可知2，10.答案B2(xx湖北)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(02)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析由P(4)0.8知P(4)P(0)0.2，故P(02)0.3.故選C.答案C3(xx廣東)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，則P(X4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5解析由正態(tài)曲線(xiàn)性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線(xiàn)x3對(duì)稱(chēng)，P(X4)0.5P(2X4)0.50.682 60.158 7.故選B.答案B4(xx山東)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，2)，若P(X>2)0.023，則P(2X2)等于()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977解析P(2X2)12P(X>2)0.954.答案C5設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c等于()A1 B2 C3 D4解析2，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于x2對(duì)稱(chēng)，于是2，c2.答案B考向一正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)【例1】若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為 .(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(4,4的概率審題視點(diǎn) 要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)，的值，其中決定曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的位置，則與曲線(xiàn)的形狀和最大值有關(guān)解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即0.由，得4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是，(x)e，x(，)(2)P(4<X4)P(04<X04)P(<X)0.682 6. 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線(xiàn)的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線(xiàn)的影響【訓(xùn)練1】 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A12，12B12，12C12，12D12，12解析根據(jù)正態(tài)分布N(，2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線(xiàn)是一條關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，在x處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線(xiàn)；越大，曲線(xiàn)的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，越小，曲線(xiàn)的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A.答案A考向二服從正態(tài)分布的概率計(jì)算【例2】設(shè)XN(1,22)，試求(1)P(1<X3)；(2)P(3<X5)；(3)P(X5)審題視點(diǎn) 將所求概率轉(zhuǎn)化到(，(2，2或3，3上的概率，并利用正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解解XN(1,22)，1，2.(1)P(1<X3)P(12<X12)P(<X)0.682 6.(2)P(3<X5)P(3<X1)，P(3<X5)P(3<X5)P(1<X3)P(14<X14)P(12<X12)P(2<X2)P(<X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3<X5)1P(14<X14)1P(2<X2)(10.954 4)0.022 8. 求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上【訓(xùn)練2】 隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(1，2)，已知P(0)0.3，則P(2)_.解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，所以P(2)P(0)0.3，P(2)10.30.7.答案0.7考向三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】xx年中國(guó)汽車(chē)銷(xiāo)售量達(dá)到1 700萬(wàn)輛，汽車(chē)耗油量對(duì)汽車(chē)的銷(xiāo)售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車(chē)制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車(chē)制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車(chē)的耗油情況，共抽查了1 200名車(chē)主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車(chē)的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車(chē)的耗油量服從正態(tài)分布N(8，2)，已知耗油量7,9的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車(chē)大約有_輛審題視點(diǎn) 根據(jù)正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解解由題意可知N(8，2)，故正態(tài)分布曲線(xiàn)以8為對(duì)稱(chēng)軸，又因?yàn)镻(79)0.7，故P(79)2P(89)0.7，所以P(89)0.35，而P(8)0.5，所以P(9)0.15，故耗油量大于9升的汽車(chē)大約有1 2000.15180輛 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線(xiàn)和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)P(x1)P(x2)時(shí)必然有，這是解決正態(tài)分布類(lèi)試題的一個(gè)重要結(jié)論【訓(xùn)練3】 工廠(chǎng)制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？解XN，4，.不屬于區(qū)間(3,5的概率為P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)10.997 40.002 60.003，1 0000.0033(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)閱卷報(bào)告19正態(tài)分布中概率計(jì)算錯(cuò)誤【問(wèn)題診斷】 正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤【防范措施】 對(duì)正態(tài)分布N(，2)中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為2而不是，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線(xiàn)的六條性質(zhì)【示例】 已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為()A0.3% B0.23%C1.5% D0.15%錯(cuò)因(1)不能正確得出該正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算無(wú)從下手(2)對(duì)正態(tài)分布中隨機(jī)變量在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不準(zhǔn)，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)實(shí)錄同學(xué)甲A同學(xué)乙B同學(xué)丙C正解依題意，116，8，所以392，3140，而服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在(3，3)內(nèi)取值的概率約為0.997，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間(92,140)內(nèi)的考生所占百分比約為99.7%，從而成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為0.15%.故選D.答案D【試一試】 在正態(tài)分布N中，數(shù)值落在(，1)(1，)內(nèi)的概率為() A0.097 B0.046 C0.03 D0.002 6解析0，P(x1或x1)1P(1x1)1P(3x3)10.997 40.002 6.答案D