2019-2020年高中數學 第1章 1計數原理課時作業(yè) 北師大版選修2-3一、選擇題1已知x2,3,7，y31，24,4，則xy可表示成不同的值的個數是()A112B1113C236D339答案D解析因為按x、y在各自的取值集合中各選一個值去做積這件事，可分兩步完成：第一步，x在集合2,3,7中任取一個值有3種方法；第二步，y在集合31，24，4中任取一個值有3種方法根據分步乘法計數原理有339個不同的值故選D.2(xx陜西寶雞中學高二期末)圖書館的書架有三層，第一層有3本不同的數學書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現從中任取一本書，共有()種不同的取法()A120B16C64D39答案B解析由分類加法計數原理知，共有不同取法35816種3一植物園參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線種類共有()A6種B8種C36種D48種答案D解析參觀路線分步完成：第一步選擇三個“環(huán)形”路線中的一個，有3種方法，再按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；第二步選擇余下兩個“環(huán)形”路線中的一個，有2種方法，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；最后一個“環(huán)形”路線，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法由分步計數原理知，共有3222248(種)方法4十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有行車路線()A24種B16種C12種D10種答案C解析4個路口，每個路口都有3種行車路線，則共有4312種行車路線5(xx安徽理，8)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有()A24對B30對C48對D60對答案C解析如圖，上底面的一條對角線為例共4對，這樣的對角線共12條，共有12448對本題也可以用排除法，C612求得二、填空題6有10本不同的數學書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有_種不同的取法答案242解析任取兩本不同的書，有三類：(1)取數學、語文各一本，(2)取語文、英語各一本，(3)取數學、英語各一本然后求出每類取法，利用分類加法計數原理即可得解取兩本書中，一本數學、一本語文，根據分步乘法計數原理有10990種不同取法；取兩本書中，一本語文、一本英語，有9872種不同取法；取兩本書中，一本數學、一本英語，有10880種不同取法綜合以上三類，利用分類加法計數原理，共有907280242種不同取法故填242.7如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成“正交線面對”的個數是_答案36解析用分類加法計算原理：第一類，正方體的一條棱與面有兩個“正交線面對”，共有24個；第二類，正方體的一條面對角線與對角面有一個“正交線面對”，共有12個所以共有“正交線面對”的個數是241236.8若一個m、n均為非負整數的有序數對(m，n)在做mn的加法時各位均不會進位，則稱(m，n)為“簡單的”有序數對，mn稱為有序數對(m，n)的值，那么值為1942的“簡單的”有序數對的個數是_答案300解析由題意可知mn1942，當m，n中一個數確定時，另一個數也就唯一確定了，所以不妨設m1000x1100x210x3x4，則x1有2種不同取法，x2有10種不同取法，x3有5種不同取法，x4有3種不同取法，所以所求的有序數對的個數為21053300.三、解答題9.從1到200的這二百個自然數中，各個位數上都不含數字8的共有多少個？解析應分三類來解決該問題第一類：一位數中除8以外符合要求的數有8個；第二類：二位數中，十位數除0、8以外有8種選法，而個位數除8以外有9種選法，故二位數中符合要求的數有8972(個)；第三類：三位數中百位數為1，十位數和個位數上的數字除8以外都有9種選法，故三位數中，百位數為1的符合要求的數有9981(個)百位數為2的只有200這一個符合要求，三位數中符合要求的數有81182(個)由分類加法計數原理，符合要求的數字共有N87282162(個)反思總結考慮問題的原則是先分類而后分步，要注意在分類(或分步)時，必須做到不重不漏10(1)有5本書全部借給3名學生，有多少種不同的借法？(2)有3名學生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐，則有多少種不同分配方案？解析(1)中要完成的事件是把5本書全部借給3名學生，可分5個步驟完成每一步把一本書借出去，有3種不同的方法，根據分步乘法計數原理，共有N3333335243種不同的借法(2)中要完成的事件是把3個學生分配到5個車間中，可分3個步驟完成，每一步分配一名學生，有5種不同的方法，根據分步乘法計數原理，共有N55553125種不同的分配方案反思總結解決這類問題，切忌死記公式“mn”或“nm”，而應弄清楚哪類元素必須用完，就以它為主進行分析，并以該元素為分步的依據進行分步，再用分步乘法計數原理來求解.一、選擇題1從集合1,2,3，11中任選兩個元素作為橢圓方程1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域B(x，y)|x|<11，且|y|<9內的橢圓的個數為()A43個B72個C86個D90個答案B解析由題意，m可能的取值為1,2，10；n可能的取值為1,2，8，先確定m有10種方法，再確定n有8種方法，按分步計數原理共有80種方法，但其中包括mn的情況共8種，故能組成落在矩形區(qū)域內的橢圓個數為72個故選B.2四個同學，爭奪三項冠軍，冠軍獲得者可能有的種類是()A4B24C43D34答案C解析依分步乘法計數原理，冠軍獲得者可能有的種數是44443.故選C.3xx年南京青奧會火炬?zhèn)鬟f在A、B、C、D、E五個城市之間進行，各城市之間的路線距離(單位：百公里)見下表若以A為起點，E為終點，每個城市經過且只經過一次，那么火炬?zhèn)鬟f的最短路線距離是()ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650A.20.6B21C22D23答案B解析由于“以A為起點，E為終點，每個城市經過且只經過一次”，并且求“ 最短路線的距離”，由選項判斷，A中20.6在表中只有C和E之間的距離8.6是出現小數部分的，故CE是必定經過的路線，又因為A為起點，E為終點，故如果A正確，那么線路必須是：1.ABDCE或2.ADBCE，進行驗證：線路1的距離和為5698.628.6，故線路1不符合；線路2的距離之和為5678.626.6，線路2也不符合，故排除A；再驗證選項B，發(fā)現線路ACDBE的距離之和為496221符合，故選B.4方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A60條B62條C71條D80條答案B解析本題考查拋物線、計數原理由題意知a0，且b0，下面分2類：若c0，ayb2x2，不同拋物線有54614條，若c0，不同拋物線有5431248，共481462條分類要全面，要不重不漏二、填空題5.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_種(用數字作答)答案390解析給四個格子編號如答圖所示，由題意號格子有6種不同涂色方法，號格子有5種不同的涂色方法，若號格子與號格子同色，則號格子有5種不同涂色方法(可以與號同色)，由乘法原理有655150(種)涂色方法；若號格子與號格子不同色，則號格子有4種不同涂色方法，此時號格子只能與號或號同色，因而有2種涂色方法，由乘法原理有6542240(種)涂色方法，最后由加法原理共有150240390(種)不同的涂色方法，故填390.6如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有_答案480種解析從A開始有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，不同涂色法有654(13)480種三、解答題7甲、乙、丙、丁4個人各寫1張賀卡，放在一起，再各取1張不是自己所寫的賀卡，共有多少種不同取法？解析方法一(枚舉法)：(1)甲取得乙卡，分配方案如表此時乙有甲、丙、丁3種取法若乙取甲的卡，則丙取丁的、丁取丙的，若乙取丙的卡，則丙取丁的，丁取丙的，故有3種分配方案(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲(3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：丁甲乙丙、乙丙甲乙、丁丙乙甲由分類加法計數原理，共有N3339(種)方法二(間接法)：4人各取1張賀卡甲先取1張賀卡有4種方法，乙再取1張賀卡有3種方法，然后丙取1張賀卡有2種方法，最后丁僅有1種方法由分步乘法計數原理，4個人各取1張賀卡共有432124(種)4個人都取自己寫的賀卡有1種方法；2個人取自己寫的賀卡，另2個人不取自己所寫賀卡的方法有6種(即4個人中選出取自己寫的賀卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1個人取自己寫的賀卡，另3個人不取自己所寫賀卡方法有8種(從4個人中選出取自己寫的賀卡的1個人有4種方法而其余3個人都不取自己所寫賀卡的方法有2種方法)因此，4個人都不取自己所寫賀卡的取法有N24(168)9(種)方法三(分步法)第一步甲取1張不是自己所寫的那張賀卡，有3種取法；第二步由甲取的那張賀卡的寫卡人取，也有3種取法；第三步由剩余兩個中任1個人取，此時只有1種取法；第四步最后1個人取，只有1種取法由分步乘法計數原理，共有N33119(種)反思總結對于有限制條件的選取、抽取問題的計數，一般地，當數目不很大時，可用枚舉法，但為保證不重不漏，可用樹形圖、框圖及表格進行枚舉；當數目較大，符合條件的情況較多時，可用間接法計數；否則直接用分類或分步計數原理計數但一般根據選(抽)取順序分步或根據選(抽)取元素的特點分類8.用0,1,2,3,4這五個數字可以組成多少個無重復數字的(1)四位數？(2)四位奇數？解析(1)完成“組成無重復數字的四位數”這件事，可以分四個步驟：第一步：從1,2,3,4中選取一個數字作千位數字，有4種不同的選取方法；第二步：從1,2,3,4中剩余的三個數字和0共四個數字中選取一個數字作百位數字，有4種不同的選取方法；第三步：從剩余的三個數字中選取一個數字作十位數字，有3種不同的選取方法；第四步：從剩余的兩個數字中選取一個數字作個位數字，有2種不同的選取方法由分步乘法計數原理，可組成不同的四位數共有N443296個(2)完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，有兩類辦法：第一類：四位奇數的個位數字取1，這件事又需分三個步驟完成：第1步：從2,3,4中選取一個數字作千位數字，有3種不同的選取方法；第2步：從2,3,4中剩余的兩個數字和0共三個數字中選取一個數字作百位數字，有3種不同的選取方法；第3步：從剩余的兩個數字中，選取一個數字作十位數字，有2種不同的選取方法由分步乘法計數原理，第一類中的四位奇數共有N133218個第二類：四位奇數的個位數字取3，這件事也需分三個步驟完成：第1類：從1,2,4中選取一個數字作千位數字，有3種不同的選取方法；第2類：從1,2,4中剩余的兩個數字和0共三個數字中選取一個數字作百位數字，有3種不同的選取方法；第3類：從剩余的兩個數字中選取一個數字作十位數字，有2種不同的選取方法由分步乘法計數原理，第二類中的四位奇數共有N233218個最后，由分類加法計數原理，符合條件的四位奇數共有NN1N2181836個