2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案 北師大版選修2 1變化的快慢與變化率 第一課時 變化的快慢與變化率——平均變化率 一、教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)平均變化率的概念； 2、會求給定函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率，并能根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢。 二、教學(xué)重點：從變化率的角度重新認(rèn)識平均速度的概念，知道函數(shù)平均變化率就是函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢的數(shù)量描述。 教學(xué)難點：對平均速度的數(shù)學(xué)意義的認(rèn)識 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造。 從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。 十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。 本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。 微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。 積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。 微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。 (二)、探析新課 問題1：物體從某一時刻開始運動，設(shè)s表示此物體經(jīng)過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數(shù)，表示為s=s(t) 在運動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如下表： t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m 0 6 9 20 32 44 … 物體在0～2s和10～13s這兩段時間內(nèi)，那一段時間運動得快？ 分析：我們通常用平均速度來比較運動的快慢。 在0～2s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為； 在10～13s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為。 顯然，物體在后一段時間比前一段時間運動得快。 問題2：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下圖所示： 比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？ 分析：根據(jù)圖像可以看出： 當(dāng)時間x從0min到20min時，體溫y從39℃變?yōu)?8.5℃，下降了0.5℃； 當(dāng)時間x從20min到30min時，體溫y從38.5℃變?yōu)?8℃，下降了0.5℃。 兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段時間短，所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快。 我們也可以比較在這兩段時間中，單位時間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當(dāng)時間x從0min到20min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 當(dāng)時間x從20min到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 這里出現(xiàn)了負(fù)號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降的越快，這里體溫從20min到30min這段時間下降的比0min到20min這段時間要快。 （三）、小結(jié)：1、對一般的函數(shù)y=f（x）來說，當(dāng)自變量x從變?yōu)闀r，函數(shù)值從f（）變?yōu)?。平均變化率就是函?shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 （四）、練習(xí)：P27頁練習(xí)1，2，3，4題；習(xí)題2-1中 1 （五）作業(yè)布置：1、已知曲線上兩點的橫坐標(biāo)是和，求過兩點的直線斜率。 2、一物體按規(guī)律作變速直線運動，求該物體從2秒末到6秒末這段時間內(nèi)的平 均速度。 五、教后反思： 第二課時 變化的快慢與變化率——瞬時變化率 一、教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)瞬時變化率的概念；2、會求給定函數(shù)在某點處的瞬時變化率，并能根據(jù)函數(shù)的瞬時變化率判斷函數(shù)在某點處變化的快慢。3、理解瞬時速度、線密度的物理意義，并能解決一些簡單的實際問題。 二、教學(xué)重點：知道瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在某點處變化的快慢。 教學(xué)難點：對于平均速度與瞬時速度的關(guān)系的理解 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：函數(shù)平均變化率的概念 1、對一般的函數(shù)y=f（x）來說，當(dāng)自變量x從變?yōu)闀r，函數(shù)值從f（）變?yōu)?。平均變化率就是函?shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 （二）、探究新課 例1、一個小球從高空自由下落，其走過的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為 其中，g為重力加速度，試估計小球在t=5s這個時刻的瞬時速度。 分析：當(dāng)時間t從t0變到t1時，根據(jù)平均速度公式 ， 可以求出從5s到6s這段時間內(nèi)小球的平均速度 （m/s）。 我們有時用它來近似表示t=5s時的瞬時速度。為了提高精確度，可以縮短時間間隔，如求出5～5.1s這段時間內(nèi)的平均速度 （m/s）。 用它來近似表示t=5s時的瞬時速度。 如果時間間隔進(jìn)一步縮短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s這個時刻的瞬時速度。 解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計算出相應(yīng)的平均速度得到下表： t0/s t1/s 時間的改變量 （Δt）/s 路程的改變量 （Δs ）/m 平均速度/（m/s） 5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5 … … … … 可以看出，當(dāng)時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于49m/s，因此，可以認(rèn)為小球在t0=5s時的瞬時速度為49m/s。從上面的分析和計算可以看出，瞬時速度為49m/s的物理意義是，如果小球保持這一刻的速度進(jìn)行運動的話，每秒將要運動49m。 例2、如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，長為10m。x（單位：m）表示OX這段棒長，y（單位：kg）表示OX這段棒的質(zhì)量，它們滿足以下函數(shù)關(guān)系： 。 估計該合金棒在x=2m處的線密度。 分析：一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長度，就是這段合金棒的平均線密度。 解：由，我們可以計算出相應(yīng)的平均線密度得到下表 x0/s x1/s 長度x的改變量 （Δx）/m 質(zhì)量y的改變量 （Δs ）/kg 平均線密度 /（kg/m） 2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2 … … … … 可以看出，當(dāng)x1趨于x0=2m時，平均線密度趨于0.71kg/m，因此，可以認(rèn)為合金棒在x0=2m處的線密度為0.71kg/m。從上面的分析和計算可以看出，線密度為0.71kg/m的物理意義是，如果有1m長的這種線密度的合金棒，其質(zhì)量將為0.71kg。 （三）、小結(jié)：對于一般的函數(shù)，在自變量x從x0變到x1的過程當(dāng)中，若設(shè)Δx= x1－x０，，則函數(shù)的平均變化率是 ， 而當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率就趨于在點的瞬時變化率，瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在一點處變化的快慢。 （四）、練習(xí)：課本練習(xí)2：1、2. （五）、作業(yè)：課本習(xí)題2-1：3、4、5 五、教后反思： 第三課時 瞬時速度與瞬時加速度 一、教學(xué)目標(biāo)：了解平均速度的概念，掌握運動物體的瞬時速度瞬時加速度的概念及求法． 二、教學(xué)重點，難點：瞬時速度瞬時加速度的概念及求法． 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）．問題情境 1．情境：一質(zhì)點運動方程為，（其中表示在時刻的位移，時間單位：秒，位移單位：米）；求質(zhì)點在時刻處的切線的斜率．2．問題：在時刻處的切線的斜率有什么物理意義？ （二）、學(xué)生活動 解：，∴，當(dāng)趨近于時，趨近于，質(zhì)點在時刻處的切線的斜率為；它的物理意義時刻時的瞬時速度． （三）．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1． 平均速度： 物理學(xué)中，運動的物體的位移與所用時間比稱為平均速度． 若位移與所經(jīng)過時間的規(guī)律是，設(shè)為時間改變量，從到這段時間內(nèi)，物體的位移是，那么位移的改變量與時間改變量的比就是這段時間內(nèi)物體的平均速度， 即：，平均變化率反映了物體在某一時間段內(nèi)運動快慢程度的物理量。 2． 瞬時速度：物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)過運動的物體在某一時刻的“速度”，即的瞬時速度，用表示，物體在時的瞬時速度（即時對于時間的瞬時變化率），運動物體在到這一段時間內(nèi)的平均速度，當(dāng)無限趨近于0時，趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在時的瞬時速度． 3． 瞬時加速度 物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)過運動的物體在某一時刻的“加速度”，即的瞬時加速度，用表示，物體在時的瞬時加速度（即時速度對于時間的瞬時變化率），運動物體在到這一段時間內(nèi)的平均加速度，當(dāng)無限趨近于0時，有趨近于常數(shù)． （四）．知識運用：1．例題： 例1．設(shè)質(zhì)點按函數(shù)所表示的規(guī)律運動，求質(zhì)點在時刻時的瞬時速度（其中表示在時刻的位移，時間單位：秒，位移單位：米）． 解：從到這段時間內(nèi)， 物體的位移是， 那么位移的改變量與時間改變量的比就是這段時間內(nèi)物體的平均速度，即，當(dāng)無限趨近于0時，有趨近于常數(shù)，∴質(zhì)點在時刻時的瞬時速度為． 例2．跳水運動員從高的跳臺騰空到入水的過程中，不同的時刻有不同的速度，后運動員相對于水面的高度為，確定時運動員的速度 ． 解：從到這段時間內(nèi)的平均變化率為， ，當(dāng)無限趨近于0時，有趨近于常數(shù)，∴當(dāng)時運動員的瞬時速度為． 例3．設(shè)一輛轎車在公路上做加速直線運動，假設(shè)時的速度為，求 時轎車的加速度． 解：在到的時間間隔內(nèi)，轎車的平均加速度為， 當(dāng)趨近于常數(shù)0時，有趨近于常數(shù)，所以時轎車的加速度為． 2．練習(xí)：課本P30頁第 1，2題． （五）．回顧小結(jié)：運動物體的瞬時速度的一般步驟是：①求位移增量與時間增量的比； ②判斷當(dāng)趨近于常數(shù)0時，是否無限趨近于一常數(shù)；③求出這個常數(shù)． （六）、作業(yè)：習(xí)題2-1中 A組第3題 B組1、2 五、教后反思： 2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 第四課時 導(dǎo)數(shù)的概念 一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：通過大量的實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)。 2、過程與方法：①通過動手計算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。 3、情感、態(tài)度與價值觀：通過運動的觀點體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 二、教學(xué)重點：了解導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)數(shù)的方法。 教學(xué)難點：理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量x從x0變到x1時，函數(shù)值從變到，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為 當(dāng)x1趨于x0，即Δx趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值（這個值稱為：當(dāng)x1趨于x0時，平均變化率的極限），那么這個值就是函數(shù)在點x0的瞬時變化率。 （二）、探究新課 在數(shù)學(xué)上，稱瞬時變化率為函數(shù)在點x0的導(dǎo)數(shù)，通常用符號表示，記作 。 例1、一條水管中流過的水量y（單位：）是時間x（單位：s）的函數(shù)。求函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義。 解：當(dāng)x從2變到2＋Δx時，函數(shù)值從32變到3（2＋Δx），函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為 （/s）. 當(dāng)x趨于2，即Δx趨于0時，，平均變化率趨于3，所以 （/s）. 導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)x=2s時水流的瞬時變化率，即水流的瞬時速度。也就是如果水管的中的水以x=2s時的瞬時速度流動的話，每經(jīng)過1s，水管中流過的水量為3。 例2、一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的食品量y（單位：kg）是其工作時間x（單位：h）的函數(shù)。假設(shè)函數(shù)在x=1和x=3處的導(dǎo)數(shù)分別為和，試解釋它們的實際意義。 解：表示該工人工作1h的時候，其生產(chǎn)速度（即工作效率）為4kg/h，也就是說，如果保持這一生產(chǎn)速度，那么他每時可以生產(chǎn)4kg的食品。 表示該工人上班后工作3h的時候，，其生產(chǎn)速度為3.5kg/h，也就是說，如果保持這一生產(chǎn)速度，那么他每時可以生產(chǎn)出3.5kg/h的食品。 例3、服藥后，人體血液中藥物的質(zhì)量濃度y（單位：μg/mL）是時間t（單位：min）的函數(shù)，假設(shè)函數(shù)在t=10和t=100處的導(dǎo)數(shù)分別為和，試解釋它們的實際意義。 解：表示服藥后10min時，血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5μg/（mLmin）。也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1min，血液中藥物的質(zhì)量濃度將上升1.5μg/（mLmin）。 表示服藥后100min時，血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為－0.6μg/（mLmin）。也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1min，血液中藥物的質(zhì)量濃度將下降－0.6μg/（mLmin）。 (三)、小結(jié)：1、瞬時速度的變化率的概念；2、導(dǎo)數(shù)的概念；3、利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟： （四）、練習(xí)：課本練習(xí)：1、2. （五）、作業(yè)：課本習(xí)題2-2中A組2、3 補充題：1、求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)． 解： 2、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， 所以 同理可得: 在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升． 注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況． 五、教后反思： 第五課時 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（一） 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 2、理解曲線在一點的切線的概念； 3、會求簡單函數(shù)在某點處的切線方程。 二、教學(xué)重點：了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 教學(xué)難點：求簡單函數(shù)在某點出的切線方程 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及求法。 （二）、探究新課 設(shè)函數(shù)在[x0，x0＋Δx]的平均變化率為，如右圖所示，它是過A（x0，）和B（x0＋Δx，）兩點的直線的斜率。這條直線稱為曲線在點A處的一條割線。 如右圖所示，設(shè)函數(shù)的圖像是一條光滑的曲線，從圖像上可以看出：當(dāng)Δx取不同的值時，可以得到不同的割線；當(dāng)Δx趨于0時，點B將沿著曲線趨于點A，割線AB將繞點A轉(zhuǎn)動最后趨于直線l。直線l和曲線在點A處“相切” ，稱直線l為曲線在點A處的切線。該切線的斜率就是函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)。 函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。函數(shù)在x0處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點處的切線的斜率， 即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟: ①求出P點的坐標(biāo); ②求出函數(shù)在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率； ③利用點斜式求切線方程. 2、導(dǎo)函數(shù)： 由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時, 是一個確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或， 即: 注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)． 3、函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 （1）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。 (2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) (3）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 例1、已知函數(shù)， x0＝－2。 （1）分別對Δx=2，1，0.5求在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率，并畫出過點（x0，）的相應(yīng)割線； （2）求函數(shù)在x0＝－2處的導(dǎo)數(shù)，并畫出曲線在點（－2，4）處的切線。 解：（1）Δx=2，1，0.5時，區(qū)間[x0，x0＋Δx]相應(yīng)為[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。在這些區(qū)間上的平均變化率分別為 ， ， . 其相應(yīng)割線如右圖所示，分別是過點（-2，4）和點（0，0）的直線l1，過點（-2，4）和點（-1，1）的直線l2，過點（-2，4）和點（-1.5，2.25）的直線l3. （2）在區(qū)間[-2，-2＋Δx]上的平均變化率為 . 令Δx趨于0，知函數(shù)在x0＝－2處的導(dǎo)數(shù)為-4。 曲線在點（-2，4）處的切線為l，如右圖所示。 例2、求函數(shù)在x=1處的切線方程。 解：先求在x=1處的導(dǎo)數(shù)： 令Δx趨于0，知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為。 這樣，函數(shù)在點（1，）=(1，2)處的切線斜率為6.即該切線經(jīng)過點（1，2），斜率為6. 因此切線方程為 y-2=6(x-1). 即 y=6x-4. 切線如圖所示。 （三）、小結(jié)：函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。函數(shù)在x0處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 （四）、練習(xí)：課本練習(xí)：1、2. （五）、作業(yè)：課本習(xí)題2-2中A組4、5 五、教后反思： 第六課時 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（二） 一、教學(xué)目標(biāo)：掌握切線斜率由割線斜率的無限逼近而得，掌握切線斜率的求法． 二、教學(xué)重點，難點：（1）能體會曲線上一點附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）會求曲線上一點處的切線斜率． 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、問題情境 1．情境：設(shè)是曲線上的一點，將點附近的曲線放大、再放大，則點附近將逼近一條確定 的直線． 2．問題：怎樣找到在曲線上的一點處最逼曲線的直線呢？ （二）、學(xué)生活動 如上圖直線為經(jīng)過曲線上一點的兩條直線． （1）判斷哪一條直線在點附近更加逼近曲線． （2）在點附近能作出一條比更加逼近曲線 的直線嗎？ （3）在點附近能作出一條比更加逼近曲線的直線嗎？ （三）、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．割線及其斜率：連結(jié)曲線上的兩點的直線叫曲線的割線， 設(shè)曲線上的一點，過點的一條割線交曲線于另一點，則割線的斜率為 ． 2． 切線的定義：隨著點沿著曲線向點運動，割線在點附近越來越逼近曲線。當(dāng)點無限逼近點時，直線最終就成為在點處最逼近曲線的直線，這條直線也稱為曲線在點處的切線； 3． 切線的斜率：當(dāng)點沿著曲線向點運動，并無限靠近點時，割線逼近點處的切線，從而割線的斜率逼近切線的斜率，即當(dāng)無限趨近于時，無限趨近于點處的切線的斜率． （四）、數(shù)學(xué)運用 1．例題： 例1．已知曲線， （1）判斷曲線在點處是否有切線，如果有，求切線的斜率，然后寫出切線的方程． （2）求曲線在處的切線斜率。 分析：（1）若是曲線上點附近的一點，當(dāng)沿著曲線無限接近點時，割線的斜率是否無限接近于一個常數(shù)．若有，則這個常數(shù)是曲線在點處的切線的斜率；（2）為求得過點的切線斜率，我們從經(jīng)過點的任意一點直線（割線）入手。 解：（1）在曲線上點附近的取一點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為， 則函數(shù)的增量為， ∴割線的斜率為， ∴當(dāng)無限趨近于時，無限趨近于常數(shù)2， ∴曲線在點處有切線，且切線的斜率為， ∴所求切線方程是，即． （2）設(shè)，，則割線的斜率為 當(dāng)無限趨近于時，無限趨近于常數(shù)4，從而曲線在點處切線的斜率為。 例2．已知，求曲線在處的切線的斜率． 分析：為了求過點的切線的斜率，要從經(jīng)過點的任意一條割線入手． 解：設(shè)，，則割線的斜率： ． 當(dāng)無限趨近于時，無限趨近于常數(shù)1，∴曲線在點處有切線，且切線的斜率為． 例3．已知曲線方程，求曲線在處的切線方程． 解：設(shè)是點附近的一點， ． 當(dāng)無限趨近于時，無限趨近于常數(shù)1，∴曲線在點處有切線，且切線的斜率為．所求直線方程：． 2．練習(xí)：練習(xí) 第 1，2，3題；習(xí)題2-2A組中 第 3題． （五）．回顧小結(jié)：求切線斜率一般步驟是：①求函數(shù)增量與自變量增量的比；②判斷當(dāng)無限趨近于時，是否無限趨近于一常數(shù)；③求出這個常數(shù)． （六）．課外作業(yè)：1、補充：判斷曲線在點處是否有切線？如果有，求出切線的方程． 2、習(xí)題2-2中B組 1、2 五、教后反思： 第七課時 導(dǎo)數(shù)的幾何意義習(xí)題課 一、教學(xué)目標(biāo)：會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點處的切線方程。 二、教學(xué)重點：曲線上一點處的切線斜率的求法 教學(xué)難點：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點（x0，）處的切線的斜率。 （二）、探究新課 例1、在曲線上求一點P使得曲線在該點處的切線滿足下列條件： （1）平行于直線y＝x＋1； （2）垂直于直線2x－16y＋1＝0； （3）傾斜角為135。 解：設(shè)點坐標(biāo)為（，），則 ∴當(dāng)Δx趨于0時，。 （1）∵切線與直線y＝x＋1平行。 ∴，即， ∴，。 即P（―2，1）。 （2）∵切線與直線2x－16y＋1＝0垂直， ∴，即， ∴，。 即P（―1，4）。 （3）∵切線傾斜角為135， ∴，即， ∴，。 即P（2，1）。 例2、求曲線過（1，1）點的切線的斜率。 解：設(shè)過（1，1）點的切線與相切與點，則 當(dāng)Δx趨于0時， ， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點P處的切線的斜率為 ① 又過（1，1）點的切線的斜率 ② ∴由①②得：解得：或，∴或， ∴曲線過（1，1）點的切線的斜率為0或。 例3、如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù) ，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、、附近的變化情況． 解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況． （1） 當(dāng)時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降． （2） 當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． （3） 當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢． （三）、小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在處切線方程的步驟：（1）已知曲線的切點①求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)；②根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為。（2）過曲線外的點①設(shè)切點為，求出切點坐標(biāo)；②求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)；③根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為。 （四）、練習(xí)：練習(xí)冊：7、8． （五）、作業(yè)：練習(xí)冊：5、6、9、10 五、教后反思： 3 計算導(dǎo)數(shù) 第八課時 計算導(dǎo)數(shù)（一） 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握計算一般函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟； 2、理解導(dǎo)函數(shù)的概念，并能用它們求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 二、教學(xué)重點：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算一般函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)； 教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)的定義運用 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課 注 意 那么，如何利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？從而導(dǎo)入新課。 （二）、探析新課 計算函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下： （1）通過自變量在處的Δx，確定函數(shù)在處的改變量：； （2）確定函數(shù)在處的平均變化率：； （3）當(dāng)Δx趨于0時，得到導(dǎo)數(shù)。 例1、求函數(shù)在下列各點的導(dǎo)數(shù) （1）； （2）； （3）。 解：（1）∵. ∴。 ∴當(dāng)Δx趨于0時，得到導(dǎo)數(shù)。 （2）由（1）可知當(dāng)時有：。 （3）由（1）可知當(dāng)時有：。 一般地：如果一個函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的每一點x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為： 則是關(guān)于x的函數(shù)，稱為的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù)。 例2、求的導(dǎo)函數(shù)，并利用導(dǎo)函數(shù)求，，。 解：∵. ∴。 ∴當(dāng)Δx趨于0時，得到導(dǎo)函數(shù)。 分別將，，代入，可得 ，，。 （二）、小結(jié)：我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數(shù)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？ 由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，利用導(dǎo)數(shù)的定義計算函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下： （1）通過自變量在處的Δx，確定函數(shù)在處的改變量：； （2）確定函數(shù)在處的平均變化率：； （3）當(dāng)Δx趨于0時，得到導(dǎo)數(shù) （三）、練習(xí)：課本練習(xí)：1、2. （四）、作業(yè)：課本習(xí)題2-3：A組1、2、4 （五）、課外練習(xí)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因為 所以 五、教后反思： 第九課時 計算導(dǎo)數(shù)（二） 一、教學(xué)目標(biāo)：掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能熟練運用。 二、教學(xué)重難點：用定義推導(dǎo)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式． 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí) 1、導(dǎo)數(shù)的定義；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、導(dǎo)函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖。 （1）求函數(shù)的改變量 （2）求平均變化率 （3）取極限，得導(dǎo)數(shù)＝ 本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。首先我們來求下面幾個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 （1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3 問題：，，呢？ 問題：從對上面幾個冪函數(shù)求導(dǎo)，我們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？ （二）、新課探析 1、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式： ⑴ (k,b為常數(shù)) ⑵ (C為常數(shù)) ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ 由⑶~⑹你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? ⑻ （為常數(shù)） ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ 從上面這一組公式來看，我們只要掌握冪函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了。 2、例題探析 例1、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)。 （1）?。?）　　（3） （4）?。?）y=sin(+x) (6) y=sin （7）y=cos(2π－x)　 （8）y= 例2、已知點P在函數(shù)y=cosx上，（0≤x≤2π），在P處的切線斜率大于0，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍。 例3、若直線為函數(shù)圖象的切線,求b的值和切點坐標(biāo). 變式1、求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程. 總結(jié)切線問題：找切點 求導(dǎo)數(shù) 得斜率 變式2、求曲線y=x2過點(0,-1)的切線方程 變式3、求曲線y=x3過點(1,1)的切線方程 變式4、已知直線,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短. （三）、課堂小結(jié)：（1）基本初等函數(shù)公式的求導(dǎo)公式（2）公式的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)公式表 函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) （c是常數(shù)） （α是常數(shù)） 特別地 特別地 （四）、課堂練習(xí)：假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？ 解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有 所以（元/年） 因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲。 （五）、作業(yè)布置：見練習(xí)冊P34頁3、4、6、7 五、教學(xué)反思： 4 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 第九課時 導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則 一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解兩個函數(shù)的和、差的求導(dǎo)公式；2、會運用上述公式，求含有和、差綜合運算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、能運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點的切線。 二、教學(xué)重點：函數(shù)和、差導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點：函數(shù)和、差導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：導(dǎo)函數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)公式表。 1.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即 2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線上點（）處的切線的斜率因此，如果在點可導(dǎo)，則曲線在點（）處的切線方程為 3. 導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)， 4. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法： （1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率 （3）取極限，得導(dǎo)數(shù)＝ 5. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：； （二）、探析新課 兩個函數(shù)和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和（差），即 證明：令， ， ∴ ， 即　　． 例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1）。 （2）。 （3）。 例2：求曲線上點（1，0）處的切線方程。 解：。 將代入導(dǎo)函數(shù)得 。 即曲線上點（1，0）處的切線斜率為4，從而其切線方程為 ， 即。 (三)、練習(xí)：課本練習(xí)：1、2. 補充題：1、求y＝x3＋sinx的導(dǎo)數(shù)．解：y＝(x3)＋(sinx) ＝3x2＋cosx． 2、求y＝x4－x2－x＋3的導(dǎo)數(shù)．解：y＝4x3 －2x－1． （四）課堂小結(jié)：本課要求：1、了解兩個函數(shù)的和、差的求導(dǎo)公式；2、會運用上述公式，求含有和、差綜合運算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、能運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點的切線。4、法則：兩個函數(shù)和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和（差），即 （五）、作業(yè)：課本習(xí)題2-4：A組2、3 B組2 五、教后反思： 第十課時 導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則 一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解兩個函數(shù)的積、商的求導(dǎo)公式；2、會運用上述公式，求含有積、商綜合運算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、能運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點的切線。 二、教學(xué)重點：函數(shù)積、商導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點：函數(shù)積、商導(dǎo)數(shù)公式 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：兩個函數(shù)的和、差的求導(dǎo)公式 1.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即 2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線上點（）處的切線的斜率因此，如果在點可導(dǎo)，則曲線在點（）處的切線方程為 3. 導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)， 4. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法： （1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率 （3）取極限，得導(dǎo)數(shù)＝ 5. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：； 6. 兩個函數(shù)和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和（差），即 （二）、探究新課 設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，。我們來求在處的導(dǎo)數(shù)。 令，由于 知在處的導(dǎo)數(shù)值為。 因此的導(dǎo)數(shù)為。 一般地，若兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別是和，我們有 特別地，當(dāng)時，有 例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3）。 解：（1）； （2）； （3）。 例2：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）。 解：（1）； （2）。 （三）、練習(xí)：課本練習(xí)1. （四）、課堂小結(jié)：1、了解兩個函數(shù)的積、商的求導(dǎo)公式；2、會運用上述公式，求含有積、商綜合運算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、能運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點的切線。4、法則：一般地，若兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別是和，我們有 特別地，當(dāng)時，有 （五）、作業(yè)：課本習(xí)題2-4：A組4（1）、（2）、（3）、（5）、（6）；5 五、教后反思： 第十一課時 2.4.3導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、會運用兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式求含有積、商綜合運算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 2、能運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點的切線。 二、教學(xué)重點：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點：函數(shù)積、商導(dǎo)數(shù)公式 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式 1、兩個函數(shù)和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和（差），即 2、若兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別是和，我們有 特別地，當(dāng)時，有 （二）、探究新課 例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）。 解：（1）解一： 解二： 。 （2）解一： 。 解二： 。 例2．是拋物線上兩點，在拋物線上與間的求一點，使面積最大． 解：∵，∴到直線的距離最大時，面積最大， 即過點的切線平行于直線時面積最大，設(shè)， ∵，∴過點的切線的斜率，，∴． 例3、求曲線過點（1，0）的切線方程。 解： 。 將x=1代入，得所求切線的斜率。 曲線過點（1，0）的切線方程為。 例4．一質(zhì)點運動方程，若速度最大值為，且對任意的，在與時速度相同，求的值． 解：，， 又，∴對恒成立，∴， ∵，∴． （三）．回顧小結(jié)：1．函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用；2．求導(dǎo)法則的運用． （四）、練習(xí)：課本練習(xí)2：1、2. （五）、作業(yè)：課本習(xí)題2-4：A組4（4）、（7）、（8）， B組1 五、教后反思： 第十二課時 簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、會運用上述法則，求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 二、教學(xué)重點：簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用 教學(xué)難點：簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式。 1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ；；； 2.法則1 ?。? 法則2 , 法則3 （二）、引入新課 海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，油膜的面積S(單位：m2)是油膜半徑r(單位：m)的函數(shù)：。 油膜的半徑r隨著時間t（單位：s）的增加而擴大，假設(shè)r關(guān)于t的函數(shù)為。 油膜的面積S關(guān)于時間t的瞬時變化率是多少？ 分析：由題意可得S關(guān)于t的新的函數(shù)：。 油膜的面積S關(guān)于時間t的瞬時變化率就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 ∵ ， ∴ 。 又 ， ， 可以觀察到 ， 即 。 一般地，對于兩個函數(shù)和，給定x的一個值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，這樣y可以表示成x的函數(shù)，我們稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作。其中u為中間變量。 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為： (表示y對x的導(dǎo)數(shù)) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解——求導(dǎo)——相乘——回代． 例1、試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？ ⑴； ⑵；⑶； ⑷． 解：⑴函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成； ⑵函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成； ⑶函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成； ⑷函數(shù)由函數(shù)、和復(fù)合而成． 說明：討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時，“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等． 例2、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解：引入中間變量，則函數(shù)是由函數(shù)與 復(fù)合而成的。 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得： 例3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解：引入中間變量，則函數(shù)是由函數(shù)與 復(fù)合而成的。 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得： 注意：在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時復(fù)合函數(shù)可以由幾個基本初等函數(shù)組成，所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo). 例4、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）。關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)為，求函數(shù)在t=3時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義。 解：函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成的，其中x是中間變量。 ∴。 將t=3代入得： （cm/s）。 它表示當(dāng)t=3時，水面高度下降的速度為 cm/s。 （三）、小結(jié) ：⑴復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解——求導(dǎo)——相乘——回代 （四）、練習(xí)：課本練習(xí). （五）、作業(yè)：課本習(xí)題2-5： 2、3、5 五、教后反思： 第十三課時 平均變化率與導(dǎo)數(shù)小結(jié)復(fù)習(xí) 一、教學(xué)目標(biāo)：1、認(rèn)識到平均變化率是刻畫物體平均變化的快慢的量，瞬時變化率是刻畫物體在一個瞬間的變化快慢的量； 2、理解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景和幾何意義，并能用導(dǎo)數(shù)定義計算簡單的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3、利用導(dǎo)數(shù)公式表和運算法則計算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能解決簡單的求曲線的切線的問題。 二、教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)概念的理解和利用導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)運算法則進(jìn)行簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算 教學(xué)難點：利用極限的語言刻畫導(dǎo)數(shù)概念和討論導(dǎo)數(shù)的運算法則 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)概念的實際背景和幾何意義，導(dǎo)數(shù)公式表和運算法則。 (二)、探究新課 例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1）∵， ∴。 （2）∵∴ （3）∵， 又∵，∴，∴ ∴。 （4） 例2、已知曲線C1：與曲線C2：，直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程。 解：設(shè)l與C1相切于點，l與C2相切于點，直線l的斜率為k。 C1：，，， C2：，，，。 由斜率公式得 ，解得： 或。 當(dāng)時，，l的方程為；當(dāng)時，，l的方程為。 例3、已知在處的導(dǎo)數(shù)等于0，且，求a，b，c的值。 解：方法一：是方程的根，即的兩根， ∴ 又，∴　　　?、塾散佗冖鄣?。 方法二：，由，， 得，∴。 （三）、小結(jié)：1、認(rèn)識到平均變化率是刻畫物體平均變化的快慢的量，瞬時變化率是刻畫物體在一個瞬間的變化快慢的量； 2、理解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景和幾何意義，并能用導(dǎo)數(shù)定義計算簡單的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3、利用導(dǎo)數(shù)公式表和運算法則計算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能解決簡單的求曲線的切線的問題。 （四）、練習(xí)：課本復(fù)習(xí)題：A組1、2、3、4. （五）、作業(yè)：課本復(fù)習(xí)題：A組 5； B組2 五、教后反思：