2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十二課時 小結(jié)與復(fù)習(xí)教案（2） 蘇教版必修4教學(xué)目標（一）知識目標1.構(gòu)造向量法；2.平面幾何性質(zhì)應(yīng)用.（二）能力目標1.熟悉向量的性質(zhì)及運算律；2.能根據(jù)向量性質(zhì)特點構(gòu)造向量；3.熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4.熟練向量求解的坐標化思路.（三）德育目標1.認識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；2.認識向量的工具性作用，加強數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用意識.教學(xué)重點1.向量的坐標表示的應(yīng)用；2.構(gòu)造向量法的應(yīng)用.教學(xué)難點構(gòu)造向量法的適用題型特點的把握.教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式針對向量坐標表示的應(yīng)用，通過非坐標形式解法與坐標化解法的比較來加深學(xué)生對于向量坐標表示的認識，同時要加強學(xué)生選擇建立坐標系的意識.對于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點內(nèi)容數(shù)量積的坐標表示，目的要使學(xué)生把握坐標表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點，同時增強學(xué)生的解題技巧，提高解題能力.教具準備投影儀、幻燈片第一張：數(shù)量積的性質(zhì)（記作5.13.2 A）第二張：本節(jié)例題（記作5.13.2 B）教學(xué)過程.復(fù)習(xí)回顧師上一節(jié)，我們一起復(fù)習(xí)了本章的基本概念、性質(zhì)、運算律及重要定理、公式，這一節(jié)我們將通過例題分析重點學(xué)習(xí)平面幾何性質(zhì)及構(gòu)造向量法在解題時的應(yīng)用.例題分析師首先，我們一起回顧一下向量的數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)（給出幻燈片5.13.2 A）.在熟悉了上述性質(zhì)后，我們來看下面的例題.（給出幻燈片5.13.2 B）例1利用向量知識證明下列各式（1）x2y22xy（2）|x|2|y|22xy分析：（1）題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系.（2）題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證.證明：（1）設(shè)a（x，y），b（y，x）則abxyyx2xy|a|b|x2y2又ab|a|b|cos（其中為a，b夾角）|a|b|x2y22xy（2）設(shè)x，y的夾角為，則xy|x|y|cos|x|y|x|2|y|22xy評述：（1）上述結(jié)論表明，重要不等式a2b22ab，無論對于實數(shù)還是向量，都成立.（2）在（2）題證明過程中，由于|x|，| y |是實數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證.例2利用向量知識證明（a1b1a2b2）2（a12a22）（b12b22）分析：此題形式對學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量.證明：設(shè)a（a1，a2），b（b1，b2）則aba1b1a2b2，|a|2a12a22，|b|2b12b22ab|a|b|cos|a|b|.（其中為a，b夾角）（ab）2|a2|b|2（a1b1a2b2）2（a12a22）（b12b22）評述：此題證法難點在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論.這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會.例3已知f（x）求證：|f（a）f（b）|ab|（ab）分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于f（a）、f（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達到去根號的目的.也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證.下面給出兩種證法.證法一：f（a），f（b），要證明|f（a）f（b）|ab|只需證明|2|ab|2即1a21b22a2b22ab即1ab只需證明2（1ab）2即1a2b2a2b212aba2b2即a2b22aba2b22ab，又aba2b22ab|f（a）f（b）|ab|證法二：設(shè)a（1，a），b（1，b）則|a|，|b|ab（0，ab）|ab|ab|由|a|b|ab|，其中當(dāng)|a|b|即ab時，取“”，而ab|a|b|ab|即|ab|f（a）f（b）|ab|.評述：通過兩種證法的比較，體會“構(gòu)造向量法”的特點，加深對向量工具性作用的認識.師上述三個例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學(xué)生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量坐標運算的特點，以及“向量坐標化”思路在解題中的具體應(yīng)用.例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線.求證ACBD.分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件.證法一：證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設(shè)B（0，0），A（a，b），C（c，0）則由|AB|BC|得a2b2c2（c，0）（a，b）（ca，b），（a，b）（c，0）（ca，b）c2a2b20即：ACBD評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認識和掌握.例5若非零向量a和b滿足|ab|ab|.證明：ab.分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法.證法一：（根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)）設(shè)a，b，由已知可得a與b不平行，由|ab|ab |得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等.所以O(shè)ACB是矩形，ab證法二：|ab| ab|（ab）2（ab）2a22abb 2a22abb 2ab0ab證法三：設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），|ab|，|ab|，化簡得：x1x2y1y20，ab0，ab.例6已知向量a是以點A（3，1）為起點，且與向量b（3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標.分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點坐標，然后表示a的坐標，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程.解：設(shè)a的終點坐標為（m，n）則a（m3，n1）由得n（3m13），代入得25m2150m2090解得或a的終點坐標是（）或（）評述：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆.師上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點知識的同時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標化思路在解題時的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來.課堂練習(xí)1.已知a（1，0），b（1，1），當(dāng)為何值時，ab與a垂直.解：ab（1，0）（1，1）（1，）（ab）a，（ab）a0（1）00，1即當(dāng)1時，ab與a垂直.2.已知|a|，|b|2，a與b的夾角為30，求|ab|，|ab|.解：|ab|2（ab）2a22abb2|a|22|a|b|cos30|b|2（）2222213|ab|，|ab|2（ab）2a22abb2|a|22|a|b|cos30b2（）222221|ab|13.已知|a|3，|b|2，a|與b的夾角為60，c3a5b，dma3b.當(dāng)m為何值時，c與d垂直?解：若cd，則cd0（3a5b）（ma3 b）03m|a|2（5m9）ab15|b|203m|a|2（5m9）|a| b |cos6015|b|20即27m3（5m9）600解得m.4.已知abc，abd求證：|a|b|cd證明：（1）cd（ab）（ab）0a2b20a2b2|a|b|，（2）|a|b|a2b2a2b20（ab）（ab）0cd.課時小結(jié)師通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進一步熟悉向量的性質(zhì)及運算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法.課后作業(yè)課本P150 A組 27，28.B組 5，6，7，8.板書設(shè)計5.13.2 小結(jié)與復(fù)習(xí)1.本節(jié)主要方法（1）構(gòu)造向量法（2）向量坐標化2.例題分析3.學(xué)習(xí)練習(xí)備課資料1.三角形內(nèi)角和性質(zhì)定理：在ABC中，A、B、C分別為三個內(nèi)角，則ABC180推論（1）：B602BAC推論（2）：若A90，則有sinBcosC，cosBsinC，tanBcotC，cotBtanC.推論（3）：sin（AB）sinC，cos（AB）cosC，tan（AB）tanC，cot（AB）cotC.推論（4）：sincos，cossin，tancot，cottan.2.三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例例1ABC中，若，求證：A、B、C成等差數(shù)列.證明：由條件得，由推論（3）得sin（BC）sinA.sin（BC）sinAsinCsin（BC）sin（BC）sinC即2cosBsinCsinCsinC0，cosB，B.故由推論（1）得2BAC.所以A、B、C成等差數(shù)列.例2在銳角ABC中，求證：sinAsinBsinCcosAcosBcosC證明：ABC是銳角三角形，A90，根據(jù)推論（2）有：sinBcosCB90，根據(jù)推論（2）有：sinCcosAC90，根據(jù)推論（2）有：sinAcosB得：sinAsinBsinCcosAcosBcosC.例3已知ABC，求證（ab）cot（bc）cot（ca）cot0.證明：根據(jù)正弦定理和推論（4），有（ab）cot2R（sinAsinB）tan4Rsinsin，（ab）cot2R（cosBcosA）同理，（bc）cot2R（cosCcosB）；（ca）cot2R（cosAcosC）.三式相加可得（ab）cot（bc）cot（ca）cot0.