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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 10.3 空間點、線、面之間的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　證明三線共點 【例1】 已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且＝＝2.求證：直線EG、FH、AC相交于同一點P. 【證明】因為E、F分別是AB、AD的中點， 所以EF∥BD，且EF＝BD. 又因為＝＝2，所以GH∥BD，且GH＝BD， 所以EF∥GH且EF＞GH， 所以四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交， 設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點P， 因為EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD， 所以P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC， 故直線EG、FH、AC相交于同一點P. 【點撥】證明三線共點的方法：首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理3可知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點. 【變式訓練1】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K. 求證：M、N、K三點共線. 【證明】 ? ?M、N、K在平面BCD與平面PQR的交線上，即M、N、K三點共線. 題型二　空間直線的位置關(guān)系 【例2】 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中點，連接AE并延長與BC的延長線交于點F，連接BE并延長交AD的延長線于點G，連接FG. 求證：直線FG?平面ABCD且直線FG∥A1B1. 【證明】因為E為CD的中點，在正方體中AE?平面ABCD， 又AE∩BC＝F，所以F∈AE，所以F∈平面ABCD， 同理G∈平面ABCD，所以FG?平面ABCD. 因為ECAB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD， 所以在正方體中CFDG，所以四邊形CFGD是平行四邊形， 所以FG∥CD，又CD∥AB，AB∥A1B1， 所以直線FG∥A1B1. 【點撥】空間直線的位置關(guān)系，常需利用線面、面面、線線的關(guān)系確定，推導時需有理有據(jù). 【變式訓練2】已知AC的長為定值，點D?平面ABC，點M、N分別是△DAB和△DBC的重心. 求證：無論B、D如何變換位置，線段MN的長必為定值. 【解析】如圖，延長DM交AB于F，延長DN交BC于E. 因為M、N為重心，所以F、E分別為AB、BC的中點， 所以EF∥AC且EF＝AC. 又在△DEF中，DM∶MF＝DN∶NE＝2∶1， 所以MN∥EF且MN＝EF，所以MN∥AC且MN＝AC， 即MN為與B、D無關(guān)的定值. 題型三　異面直線所成的角 【例3】 在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝且AD⊥BC，對角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角. 【解析】作平行線，找出與異面直線所成的角相等的平面角，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角. 同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC. 又AD⊥BC，所以∠GHF＝90，所以GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2， 所以∠GEF＝90，即AC和BD所成的角為90. 【點撥】立體幾何中，計算問題的一般步驟：(1)作圖；(2)證明；(3)計算.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移，補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行. 【變式訓練3】線段AB的兩端在直二面角α－CD－β的兩個面內(nèi)，并與這兩個面都成30角，求異面直線AB與CD所成的角. 【解析】在平面α內(nèi)作AE⊥CD， 因為α－CD－β是直二面角，由面面垂直的性質(zhì)定理， 所以AE⊥β，所以∠ABE是AB與平面β所成的角. 所以∠ABE＝30，所以AE＝AB，同理作BF⊥CD，則易得BF＝AB. 在平面β內(nèi)作BGEF，則四邊形BGEF是矩形，即BG⊥GE. 又因為AE⊥β，BG?β，所以AE⊥BG. 所以BG⊥平面AEG，所以BG⊥AG. 因為BG∥EF，所以BG∥CD，所以∠ABG是異面直線AB與CD所成的角. 又因為在Rt△AEG中，AG＝＝＝AB， 所以在Rt△ABG中，sin∠ABG＝＝， 所以∠ABG＝45. 總結(jié)提高 本節(jié)內(nèi)容主要以四個公理為依托，導出異面直線，等角定理，線線、線面、面面關(guān)系.可見，解決此類問題要以公理為標準，以眼前的點、線、面的實際物體為參考，培養(yǎng)空間想象能力，重點是點共線、線共面、異面直線、等角定理應(yīng)用.