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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.4 隨機(jī)事件的概率與概率的基本性質(zhì)教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　頻率與概率 【例1】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會(huì)指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，檢查結(jié)果如下表所示. 抽取球數(shù)n 50 100 200 500 1 000 2 000 優(yōu)等品數(shù)m 45 92 194 470 954 1 902 優(yōu)等品頻率 (1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率； (2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位) 【解析】(1)依據(jù)公式，計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970, 0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取的球數(shù)的增多，卻都在常數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950. 【點(diǎn)撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)所抽乒乓球較少時(shí)，優(yōu)等品的頻率波動(dòng)很大，但當(dāng)抽取的球數(shù)很大時(shí)，頻率基本穩(wěn)定在0.95，在其附近擺動(dòng)，利用概率的統(tǒng)計(jì)定義，可估計(jì)該批乒乓球的優(yōu)等率. 【變式訓(xùn)練1】某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場(chǎng)比賽中罰球的結(jié)果如下. 投籃次數(shù)n 8 10 12 9 10 16 進(jìn)球次數(shù)m 6 8 9 7 7 12 進(jìn)球頻率 (1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率； (2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率是多少？ 【解析】(1)由公式計(jì)算出每場(chǎng)比賽該運(yùn)動(dòng)員罰球進(jìn)球的頻率依次為： (2)由(1)知，每場(chǎng)比賽進(jìn)球的頻率雖然不同，但頻率總在附近擺動(dòng)，可知該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率為. 題型二　隨機(jī)事件間的關(guān)系 【例2】從一副橋牌(52張)中任取1張.判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件. (1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”. 【解析】(1)是互斥事件但不是對(duì)立事件.因?yàn)椤俺槌黾t桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，因而是互斥的.同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對(duì)立. (2)是互斥事件又是對(duì)立事件.因?yàn)閮烧卟豢赏瑫r(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生. (3)不是互斥事件，更不是對(duì)立事件.因?yàn)椤俺槌龅呐泣c(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，如抽得12. 【點(diǎn)撥】要區(qū)分互斥事件和對(duì)立事件的定義. 【變式訓(xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對(duì)立事件為(　　) A.至多兩件次品 B.至多一件次品 C.至多兩件正品 D.至少兩件正品 【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義得選項(xiàng)B. 題型三　概率概念的應(yīng)用 【例3】 甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)后，得到如下列聯(lián)表. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲 10 乙 30 總計(jì) 105 已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為. (1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”(參考數(shù)據(jù)P(K2＞6.635)＝0.05)； (3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)行編號(hào)，然后兩次擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的編號(hào).試求抽到6號(hào)或10號(hào)的概率. 【解析】(1) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲 10 45 55 乙 20 30 50 總計(jì) 30 75 105 (2)計(jì)算K2的一個(gè)觀測(cè)值 k＝＝6.109. 因?yàn)?.109＜6.635，所以沒有95%的把握認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān). (3)記被抽取人的序號(hào)為ζ， 則P(ζ＝6)＝，P(ζ＝10)＝， 所以P(ζ＝6或ζ＝10)＝P(ζ＝6)＋P(ζ＝10)＝＝. 【點(diǎn)撥】本題考查概率的概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用. 【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有35個(gè)球，每個(gè)球上都記有從1~35中的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n的球的重量為－5n＋20克，這些球以等可能性從袋里取出(不受重量、號(hào)碼的影響). (1)如果取出1球，試求其重量比號(hào)碼數(shù)大5的概率； (2)如果任意取出2球，試求它們重量相等的概率. 【解析】(1)由不等式－5n＋20＞n＋5，得n＞15或n＜3， 由題意知n＝1,2或者n＝16,17，…，35，于是所求概率為. (2)設(shè)第n號(hào)和第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等， 其中n＜m，則有－5n＋20＝－5m＋20， 所以(n－m)(n＋m－15)＝0. 因?yàn)閚≠m，所以n＋m＝15， 所以(n，m)＝(1,14)，(2,13)，…，(7,8). 故所求概率為. 總結(jié)提高 1.對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件.集合A的對(duì)立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A∪＝U，A∩＝.對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件. 事件A、B的和記作A＋B，表示事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時(shí)，事件A＋B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的. 當(dāng)計(jì)算事件A的概率P(A)比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件的概率則要容易些，為此有P(A)＝1－P(). 2.若A與B互相獨(dú)立，則與，A與，與B都是相互獨(dú)立事件.判斷A與B是否獨(dú)立的方法是看P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.