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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算教案 理 新人教A版 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 　　1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念 (1)了解向量的實(shí)際背景； (2)理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義； (3)理解向量的幾何表示. 2.向量的線性運(yùn)算 (1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義； (2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義； (3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義. 3.平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意義； (2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示； (3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算； (4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件. 4.平面向量的數(shù)量積 (1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； (2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； (3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； (4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 5.向量的應(yīng)用 (1)會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題； (2)會用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題. 本章重點(diǎn)： 1.向量的各種運(yùn)算； 2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想； 3.向量的數(shù)量積在證明有關(guān)向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問題中的應(yīng)用. 本章難點(diǎn)： 1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問題中的應(yīng)用； 2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)用. 　　向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn).在高考中，不僅注重考查向量本身的基礎(chǔ)知識和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查. 在考試要求的層次上更加突出向量的實(shí)際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值. 知識網(wǎng)絡(luò) 4.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算 典例精析 題型一　向量的有關(guān)概念 【例1】 下列命題： ①向量的長度與的長度相等； ②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； ③兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同； ④向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上. 其中真命題的序號是　　　. 【解析】①對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②錯；③顯然錯；與是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故④錯.故是真命題的只有①. 【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可. 【變式訓(xùn)練1】下列各式： ①|(zhì)a|＝； ②(ab) c＝a (bc)； ③－＝； ④在任意四邊形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則＋＝2； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a與b不共線，則(a＋b)⊥(a－b). 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.| a|＝正確；(ab) c≠a (bc)； －＝正確；如下圖所示， =++且=++， 兩式相加可得2＝＋，即命題④正確； 因?yàn)閍，b不共線，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b為菱形的兩條對角線， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命題①③④⑤正確. 題型二　與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題 【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段DO上，且=，點(diǎn)N在線段OC上,且=,設(shè)=a, =b,試用a、b表示，，. 【解析】在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O， 所以＝＝(－)＝(a－b)， ＝＝＝(＋)＝(a＋b). 又＝， ＝， 所以＝＋＝b＋ ＝b＋(a－b)＝a＋b， ＝＋＝＋ ＝＝(a＋b)＝(a＋b). 所以＝－ ＝(a＋b)－(a＋b)＝a－b. 【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時(shí)，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形. 【變式訓(xùn)練2】O是平面α上一點(diǎn)，A、B、C是平面α上不共線的三點(diǎn)，平面α內(nèi)的動點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，若λ＝時(shí)，則(＋)的值為　　　　. 【解析】由已知得－＝λ(＋)， 即＝λ(＋)，當(dāng)λ＝時(shí)，得＝(＋)， 所以2＝＋，即－＝－， 所以＝， 所以＋＝＋＝0， 所以 (＋)＝0＝0，故填0. 題型三　向量共線問題 【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線. (1)若＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)， 求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線. 【解析】(1)證明：因?yàn)椋絘＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5， 所以， 共線.又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B， 所以A，B，D三點(diǎn)共線. (2)因?yàn)閗a＋b和a＋kb共線， 所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝1. 【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想. (2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線. 【變式訓(xùn)練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點(diǎn)，+2+3=0，則△OAC的面積與△OAB的面積之比是（ ） A. B. C.2 D. 【解析】如圖，在三角形ABC中， ＋2＋3＝0，整理可得＋＋2(＋)＝0.令三角形ABC中AC邊的中點(diǎn)為E，BC邊的中點(diǎn)為F，則點(diǎn)O在點(diǎn)F與點(diǎn)E連線的處，即OE＝2OF. 設(shè)三角形ABC中AB邊上的高為h，則S△OAC＝S△OAE＋S△OEC＝OE (＋)＝OEh， S△OAB＝ABh＝ABh， 由于AB＝2EF，OE＝EF，所以AB＝3OE， 所以＝＝.故選B. 總結(jié)提高 1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形. 2.判斷兩非零向量是否平行，實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)實(shí)數(shù)能夠和其中一個(gè)向量把另外一個(gè)向量表示出來. 3.當(dāng)向量a與b共線同向時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|； 當(dāng)向量a與b共線反向時(shí)，|a＋b|＝||a|－|b||； 當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，|a＋b|＜|a|＋|b|.