2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 22橢圓及其性質(zhì)課時(shí)檢測(cè)考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案D2.已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),求|AB|.【詳細(xì)分析】由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由橢圓的定義可知,曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x-2).(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2.所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4.若l的傾斜角為90,則l與y軸重合,可得|AB|=2.若l的傾斜角不為90,由r1R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,則=,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l與圓M相切得=1,解得k=.當(dāng)k=時(shí),將y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|AB|=|x2-x1|=.當(dāng)k=-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=.綜上,|AB|=2或|AB|=.3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.【詳細(xì)分析】(1)設(shè)M到直線l的距離為d,根據(jù)題意,d=2|MN|.由此得|4-x|=2,化簡(jiǎn)得+=1,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為+=1.(2)解法一:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).將y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2) x2+24kx+24=0,其中,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)>0,由求根公式得x1+x2=-,x1x2=.又因A是PB的中點(diǎn),故x2=2x1,將代入,得x1=-,=,可得=,且k2>,解得k=-或k=,所以直線m的斜率為-或.解法二:由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).A是PB的中點(diǎn),x1=,y1=.又+=1,+=1,聯(lián)立,解得或即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0),所以直線m的斜率為-或.考點(diǎn)二橢圓的性質(zhì)4.從橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是() A.B.C.D.答案C5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn),連結(jié)AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,則C的離心率為()A.B.C.D.答案B6.橢圓:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率等于.答案-17.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若+=8,求k的值.【詳細(xì)分析】(1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有+=1,解得y=,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1.(2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=-,x1x2=.因?yàn)锳(-,0),B(,0),所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由已知得6+=8,解得k=.8.如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A兩點(diǎn),|AA|=4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P,P,過(guò)P,P作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求PPQ的面積S的最大值,并寫出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳細(xì)分析】(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1.從而e2+=1.由e=得b2=8,從而a2=16.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)由橢圓的對(duì)稱性,可設(shè)Q(x0,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+8=(x-2x0)2-+8(x-4,4).設(shè)P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),因此,上式當(dāng)x=x1時(shí)取最小值,又因x1(-4,4),所以上式當(dāng)x=2x0時(shí)取最小值,從而x1=2x0,且|QP|2=8-.由對(duì)稱性知P(x1,-y1),故|PP|=|2y1|,所以S=|2y1|x1-x0|=2|x0|=.當(dāng)x0=時(shí),PPQ的面積S取到最大值2.此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(, 0),半徑|QP|=,因此,這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.