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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.14《直線與圓的位置關(guān)系》教案蘇教版必修2 【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 直線與圓的位置關(guān)系 相離 相切 相交 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 學(xué)習(xí)要求 1．依據(jù)直線和圓的方程，能熟練求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)； 2．能通過(guò)比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系； 3．理解直線和圓的三種位置關(guān)系與相應(yīng)的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系； 4．會(huì)處理直線與圓相交時(shí)所得的弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題； 5．靈活處理與圓相交的問(wèn)題． 【課堂互動(dòng)】 自學(xué)評(píng)價(jià) 1．直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)稱為 相切，有兩個(gè)交點(diǎn)稱為相交，沒(méi)有交點(diǎn)稱為相離． 2.設(shè)圓心到直線的距離為，圓半徑為， 當(dāng)時(shí)，直線與圓相離， 當(dāng)時(shí)，直線與圓相切， 當(dāng)時(shí)，直線與圓相交． 3.直線與圓的方程聯(lián)立方程組，若方程組無(wú)解，則直線與圓相離，若方程組僅有一組解，則直線與圓相切，若方程組有兩組不同的解，則直線與圓相交． 【精典范例】 例1：求直線和圓的公共點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系． 分析：直線方程和圓的方程聯(lián)立方程組即可 【解】直線和圓的公共點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 解這個(gè)方程組，得 所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為． 直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線和圓相交． 例2：自點(diǎn)作圓 的切線,求切線的方程． 分析：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出直線方程，再根據(jù)直線和圓相切求解． 【解】法1：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線與圓相離，不滿足條件 當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為 即 如圖，因?yàn)橹本€與圓相切， 所以圓心到直線的距離等于圓的半徑， 故解得或． 因此，所求直線的方程是或 法2：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線與圓相離，不滿足條件． 當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為由于直線與圓相切，所以方程組僅有一組解． 由方程組消去，得關(guān)于的一元二次方程 ，因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，所以判別式解得或因此，所求直線的方程是或． 點(diǎn)評(píng):該題用待定系數(shù)法先設(shè)直線方程，應(yīng)注意直線的斜率是否存在的問(wèn)題．本題給出了兩種解法，可以看到用“幾何法”來(lái)解題運(yùn)算量要小的多． 例3：求直線被圓截得的弦長(zhǎng)． 分析： 可利用圓心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形的性質(zhì)解題 【解】法1:如圖，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）， 所以 所以 ． 法2:直線和圓的公共點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解 解得 所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為 直線被圓 截得的弦長(zhǎng)為 追蹤訓(xùn)練一 1.求過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程． 答案：． 2. 自點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程． 答案：． 3.從圓外一點(diǎn)向圓引切線，求切線長(zhǎng)． 答案：． 【選修延伸】 一、圓、切線、截距 例4: 已知圓，求該圓與軸和軸的截距相等的切線的方程. 分析：用待定系數(shù)法求解． 【解】由題意設(shè)切線與軸和軸的截距為，，則 ①時(shí)，設(shè)的方程為，即， 因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，故 解得或 所以的方程為或 ②時(shí)，設(shè)的方程為，即 所以，解得或 所以的方程為或 綜上所述：的方程為或或或 . 點(diǎn)評(píng):本題較為復(fù)雜，要討論的情況比較多，解題過(guò)程中要注重分析． 例5：若直線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析：由題意可化為表示一個(gè)右半圓，如圖所示，對(duì)于當(dāng)變化時(shí)所得的直線是互相平行的，由圖可知與半圓有一個(gè)交點(diǎn) 與半圓正好有兩個(gè)交點(diǎn)，所以位于和之間的直線都與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，另外與半圓相切也符合題意 【解】由題意可化為 表示一個(gè)右半圓，如圖所示 直線的方程為：， 直線的方程為：， 因?yàn)橹本€與半圓相切， 所以，解得 所以直線的方程為：， 由圖可知位于和之間的直線都與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，且與半圓相切， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為： 或 點(diǎn)評(píng):本題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法去解題． 思維點(diǎn)拔： 在解決直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，我們通常采用“幾何法”．例如，求與圓相切的直線方程時(shí)，先用待定系數(shù)法設(shè)出直線方程，然后根據(jù)即可求得．這種數(shù)形結(jié)合的思想貫穿了整個(gè)章節(jié)． 追蹤訓(xùn)練二 1．已知圓，求該圓與軸和軸的截距的絕對(duì)值相等的切線的方程． 答案：或． 2．若直線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 答案：． 第14課 直線與圓的位置關(guān)系 分層訓(xùn)練 1．直線與圓 的位置關(guān)系為： （ ） 相離 相切 相交但直線不過(guò)圓心相交且直線過(guò)圓心 2．圓 到直線的距離為的點(diǎn)共有 （ ） 1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè) 3．圓與軸交于兩點(diǎn)，圓心為，若，則的值是 （ ） 4．若直線與圓相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是 （ ）在圓上 在圓外 在圓內(nèi) 不能確定 5．過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線，該切線的方程為 ． 6．與直線垂直，且與圓相切的直線方程是 ． 7．圓截直線所得的弦長(zhǎng)等于 ． 8．過(guò)向圓引切線，求切線方程并求切線長(zhǎng)。 9．一個(gè)圓與軸相切，在直線上截得的弦長(zhǎng)為，圓心在直線上，求該圓的方程． 拓展延伸 10．已知直線與圓 （其圓心為點(diǎn)）交于兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值． 11．自點(diǎn)射出的光線射到軸上，被軸反射，其反射光線所在直線與圓相切 ，求光線所在直線方程．