2019-2020年高考數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)復(fù)習(xí)7 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)復(fù)習(xí)7 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 教學(xué)目的: 1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路. 2.會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題 教學(xué)重點(diǎn):等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng) 教學(xué)難點(diǎn):靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問題 授課類型:新授課 課時(shí)安排:1課時(shí) 教 具:多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析: 本節(jié)是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,使學(xué)生掌握等差數(shù)列求和公式,并能利用它求和解決數(shù)列和的最值問題等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo),采用了倒序相加法,思路的獲得得益于等到差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這一性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)通過對(duì)等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo),使學(xué)生能掌握“倒序相加”數(shù)學(xué)方法 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)引入: 首先回憶一下前幾節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容: 1.等差數(shù)列的定義: -=d ,(n≥2,n∈N) 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: (或=pn+q (p、q是常數(shù))) 3.幾種計(jì)算公差d的方法: ① d=- ② d= ③ d= 4.等差中項(xiàng):成等差數(shù)列 5.等差數(shù)列的性質(zhì): m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 6.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和: 數(shù)列中,稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和,記為. “小故事”: 高斯是偉大的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說: “現(xiàn)在給大家出道題目: 1+2+…100=?” 過了兩分鐘,正當(dāng)大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦樂乎時(shí),高斯站起來回答說: “1+2+3+…+100=5050 教師問:“你是如何算出答案的? 高斯回答說:因?yàn)?+100=101; 2+99=101;…50+51=101,所以 10150=5050” 這個(gè)故事告訴我們: (1)作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察,敢于思考,所以他能從一些簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西 (2)該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法,這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法 二、講解新課: 如圖,一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆? 這是一堆放鉛筆的V形架,這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖,看到此圖,大家都會(huì)很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系,而且可以用一個(gè)式子來表示這種關(guān)系,利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么,這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆呢?這個(gè)問題又該如何解決呢?經(jīng)過分析,我們不難看出,這是一個(gè)等差數(shù)求和問題? 這個(gè)問題,它也類似于剛才我們所遇到的“小故事”問題,它可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,…,n,…的前120項(xiàng)的和.在上面的求解中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來表示,且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和,這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)的和.如果我們可歸納出一計(jì)算式,那么上述問題便可迎刃而解. 1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1: 證明: ① ② ①+②: ∵ ∴ 由此得: 從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性 2. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2: 用上述公式要求必須具備三個(gè)條件: 但 代入公式1即得: 此公式要求必須已知三個(gè)條件: (有時(shí)比較有用) 總之:兩個(gè)公式都表明要求必須已知中三個(gè) 公式二又可化成式子: ,當(dāng)d≠0,是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式 三、例題講解 例1 一個(gè)堆放鉛筆的V型的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆? 解:由題意可知,這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆,且自下而上各層的鉛筆成等差數(shù)列,記為,其中,根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,得 答:V形架上共放著7260支鉛筆 例2 等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項(xiàng)的和是54? 解:設(shè)題中的等差數(shù)列為,前n項(xiàng)為 則 由公式可得 解之得:(舍去) ∴等差數(shù)列-10,-6,-2,2…前9項(xiàng)的和是54 例3 .已知等差數(shù)列{}中=13且=,那么n取何值時(shí),取最大值. 解法1:設(shè)公差為d,由=得: 313+32d/2=1113+1110d/2 d= -2, =13-2(n-1), =15-2n, 由即得:6.5≤n≤7.5,所以n=7時(shí),取最大值. 解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n+14 n = -(n-7)+49 ∴當(dāng)n=7,取最大值 對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法: (1) 利用: 當(dāng)>0,d<0,前n項(xiàng)和有最大值可由≥0,且≤0,求得n的值 當(dāng)<0,d>0,前n項(xiàng)和有最小值可由≤0,且≥0,求得n的值 (2) 利用: 由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值 四、練習(xí): 1.求集合的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和 解:由得 ∴正整數(shù)共有14個(gè)即中共有14個(gè)元素 即:7,14,21,…,98 是 ∴ 答:略 2. 已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220, 求其前項(xiàng)和的公式. 解:由題設(shè): 得: ∴ 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容: 1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1: 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2: 3.,當(dāng)d≠0,是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式 4.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法: (3) 利用: 當(dāng)>0,d<0,前n項(xiàng)和有最大值可由≥0,且≤0,求得n的值 當(dāng)<0,d>0,前n項(xiàng)和有最小值可由≤0,且≥0,求得n的值 (4) 利用:二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值 六、課后作業(yè): 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,前項(xiàng)和為,求前項(xiàng)和. 解:由題設(shè) ∴ 而 七、板書設(shè)計(jì)(略) 八、課后記:- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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