2019-2020年高中數學 1.1 2基本計數原理和排列組合教案 新人教A版選修選修2-3一. 本周教學內容：選修23 基本計數原理和排列組合二. 教學目標和要求 1. 掌握分類加法計數原理和分步乘法計數原理，并能用兩個計數原理解決一些簡單的問題。 2. 理解排列和組合的概念，能利用計數原理推導排列數公式，組合數公式，并解決簡單的實際問題。 3. 讓學生體會思想與方法，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力，激發(fā)學生學習的興趣。注意問題的轉化，分類討論，注重數形結合，學會從不同的切入點解決問題。三. 重點和難點重點：兩個基本計數原理的內容；排列和組合的定義，排列數和組合數公式及其應用難點：兩個計數原理的應用和應用排列組合數公式解決實際的問題四. 知識要點解析1. 兩個基本計數原理（1）分類加法計數原理：做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的辦法在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法 （2）分步乘法計數原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的辦法做第n個步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法說明：（1）兩個基本計數原理是解決計數問題最基本的理論根據，它們分別給出了用兩種不同方式（分類和分步）完成一件事情的方法總數的計算方法（2）考慮用哪個計數原理，關鍵是看完成一件事情是否能獨立完成，決定是分類還是分步。如果完成一件事情有n類辦法，每類辦法都能獨立完成，則用分類加法計數原理；如果完成一件事情，需要分成n個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有步驟，才能完成這件事情，則用分步乘法計數原理 （3）在解決具體問題，要弄清是“分步”，還是“分類”，還要弄清“分步”或者“分類”的標準是什么，注意分類，分步不能重復，不能遺漏 2. 排列問題（1）排列的定義：一般的，從n個不同的元素中任取m（mn）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列說明：定義中包含兩個基本內容：一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”一個排列就是完成一件事情的一種方法不同的排列就是完成一件事情的不同方法兩個排列相同，需要滿足兩個條件：一是元素相同，二是順序相同從n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，記作（2）排列數的定義：從n個不同的元素中任取m（mn）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中任取m個元素的排列數。用符號 （3）排列數公式：（讀作n的階乘），0！1 說明： 公式右邊是m個從大到小的連續(xù)正整數之積，最大的因數是n，最小的因數是nm1n的階乘是正整數n到1的連乘積3. 組合問題（1）組合的定義：一般地，從n個不同的元素中任取m（mn）個元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合 說明： 如果兩個組合中元素完全相同，不管它們的順序如何都是相同的組合當兩個組合中元素不完全相同，就是不同的組合排列和組合的區(qū)別：排列和順序有關，而組合和順序無關（2）組合數定義：從n個不同的元素中任取m（mn）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中任取m個元素的組合數。用符號 （3）組合數公式： （4）組合數的兩個性質： 4. 排列和組合的關系：（1）二者區(qū)別的關鍵：是否和順序有關（2）二者的聯系： 5. 解決站隊和組數的常用方法：（1）特殊位置（或元素）優(yōu)先考慮法：解決在與不在的問題（2）捆綁法：解決元素相鄰的問題（3）插空法：解決元素不相鄰的問題（4）間接法：先總體考慮，后排除不符合條件的，轉化問題【典型例題】例1. （1993年全國高考） 同室4人各寫一張賀年卡片，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡片，則4張賀年卡片不同的分配方式有：（ ） A. 6種B. 9種C. 11種D. 23種 錯解： 32116 選（A） 3221111 選（C） 3222123 選 （D） 錯解原因：由于本人不能拿自己寫的卡片這一限制條件，導致它們之間有過多的相互影響的限制，因此三種解法都沒有能全面考慮。有的重復有的遺漏，思路不清晰，從而錯解本題。 由于本題4這個數目不大，設4人分別編號甲，乙，丙，丁，4人對應卡片分別編號1，2，3，4，我們可以采用窮舉法逐一列舉如下：2 1 4 3 2 3 4 1 2 4 1 33 1 4 2 3 4 2 1 3 4 1 24 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1共有9種，所以正確答案選（B）分析：建立數學模型將賀年卡片的分配問題轉化為數學問題，用1，2 ，3，4這4個數字組成無重復的四位數，其中1不在千位，2不在百位，3不在十位，4不在個位的4位數共有多少個？思路：用乘法原理，千位只能放2，3，4三種；在放過數字2后，百位只能放1，3，4三種，后兩位已經確定。類似的，當千位數字是3，十位只能放1，2，4，其余也已確定 3319 ，共有9種，所以正確答案選（B）評析：要分析清楚它們之間的關系，注意問題的轉化，和數學問題聯系起來，建立數學模型。例2. （xx年全國高考文科）將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有 種（以數字作答）錯解：按照乘法原理3222248種錯解原因：這48種里面有不符合條件的，設三種作物為ABC，例如下面情況是存在的ABABA，BABAB只有兩種作物，不符合題意，共有種正確解法：48642種例3. 從包含甲的若干名同學中選出4名分別參加數學，物理，化學和英語競賽，每名學生只能參加一科競賽，且任2名同學不能參加同一科競賽，若甲不參加物理和化學競賽，則共有72種不同的參賽方案，問一共有多少同學？分析：若設共有n名同學，則我們可以用n把參賽方法總數表示出來，這種實際上就是得到了一個關于n的方程，解方程即可求出n的值解：設共有n名同學，首先從這n名同學中選出4人，然后再分別參加競賽，按同學甲分類：第一類，不選甲，則從剩下的n1名同學中選出4人分別參加4科競賽，有種參賽方式；第二類，選甲，首先安排甲，有種方法，再從剩下的n1名同學中選出3人參加剩下的3科競賽，有種方法，共有種參賽方式，所以根據分類計數原理，一共有種方法，根據題意得72，解得n5評析：對于這類較為復雜的問題，我們往往感到無從下手，如果，從競賽學科的角度來思考，則需要分很多種情況，容易出錯。這時我們可以采用“先取后排”的原則：即首先取出符合條件的元素，再按要求把它們排起來，這樣解答比較條理，有利于問題的解決。同學們在思考這個問題時，關鍵是要理清思路，注意問題的轉化，不要“一條道走到黑”，不要“鉆牛角尖”。當然這道題也可采用“先特殊后一般”的原則解決，大家不妨一試。例4. 用0到9這十個數字可以組成多少個沒有重復數字的（1）五位數 （2）五位奇數 （3） 五位偶數 （4）數字0不選上，但數字2，3必須選上且相鄰的五位數解：（1）首位是特殊位置，按照特殊位置優(yōu)先考慮的方法，第一步：首位共有方法，第二步：從剩余的9個數字（包括數字0）中選取4個排列，共有種方法 根據乘法原理：共有27216種（2）填空法思路一：首位和末位都是特殊位置，如果先考慮首位，則有首位是奇數和偶數兩種情況，分類討論：首位奇數，則有種，末位為奇數有種，其余種，所以共有6720種方法。首位偶數，不能為0，則有種，末位為奇數有種，其余種，所以共有6720種方法，則共有13440種思路二：先確定末位為奇數，有種，首位不能為0，則有種，其余種，所以共有13440種分析：兩個特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解決問題，在這里我詳細分析，注意體會，并在解題中加以應用。（3）思路一：末位偶數，分兩類：末位是0，則首位有種，其余有；末位不是0，有種， 則首位有種，其余有，所以共有13776種思路二：（間接法）利用五位數的方法數27216種，減去五位奇數的方法數13440種，所以共有272161344013776種（4）數字0不選上，但數字2，3必須選上且相鄰的五位數第一步：選元素，數字2，3必須選上，然后再選擇3個元素，有種第二步：排順序，把2，3看成一個元素，俗稱“捆綁”，共有4個元素排順序，有種，但，2，3兩元素還有順序，有種所以共有1680種分析：該例題涉及組數，關鍵分清題目中的條件的限制，常用方法就是，特殊位置（元素）優(yōu)先考慮，優(yōu)先安排；相鄰問題可以用捆綁法；不相鄰問題可以用插空法；直接來求情況較多，也可以用間接法。只有理解了題意，明白題目的意圖，這些方法才能熟練應用。 思考：如何解決這個問題？用1到9這九個數組成九位數，要求偶數不能相鄰，問有多少種不同的排法？例5. 六本不同的書，根據下列條件分配，各有多少種不同的分配方案？（1）甲兩本，乙兩本，丙兩本（2）甲一本，乙兩本，丙三本（3）一人一本，一人兩本，一人三本（4）平均分成3堆解：（1）有編號，有分步計算原理得種 （2）有編號，甲有，乙有，丙有，所以共有60種（3）無編號，先分組后分配給甲乙丙，分組有，分配有，所以共有360種 （4）平均分組種【模擬試題】一、選擇題1. 已知橢圓的焦點在y軸上，且，這樣的橢圓共有（ ）個 A. 9B. 12C. 15D. 302. 某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一球隊打完15場比賽，積分33分，若不考慮順序，該隊勝平負的情況共有（ ）種 A. 3B. 4C. 5D. 63. （1991年全國高考） 從4名甲型和5名乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各一臺，不同的取法共有（ ）種 A. 140B. 84C. 70D. 354. 四個不同的小球放入編號1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的方法共有（ ）種 A. 288B. 144C. 72D. 以上都不對5. 四面體的和各棱中點共有10個點，在其中取四個不共面的點，不同的取法有（ ）種 A. 150B. 147C. 144D. 1416. 八個不同顏色的小球已平均分裝在4個箱子中，現從不同的箱子中取出2個彩球，則不同的取法共有（ ）種 A. 6B. 12C. 24D. 287. 每天上午有4節(jié)課，下午2節(jié)課，安排5門不同的課程，其中安排一門課兩節(jié)連在一起上，則一天安排不同課程的種數為（ ） A. 96B. 120C. 480D. 6008. 五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（ ）種 A. 120B. 78C. 96D. 729. 從不同號碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有一雙的取法種數為（ ） A. 120B. 60C. 240D. 280 10. 分別在三張卡片的正反面上寫有1與2，3與4 ，5與6，且6可以當9用，把這三張卡片拼在一起，表示一個三位數，則三位數的個數共有（ ）個 A. 12B. 24C. 48D. 72二、填空題1. 有100個三好學生名額，分配到高三年級60班，每班至少一個名額，共有 種不同的分配方案。2. 馬路上有8盞路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的3盞燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或者三盞，也不能關掉兩端的燈，那么滿足條件的關燈方法共有 種。3. 三個人坐在一排8個座位上，若每人兩邊都有空位，則坐法種數為 4. 計算 5. 若 ，則x 6. 十只產品中有4只次品，6只正品，每次取出一個測試，直到 4只次品全測出為止，則第4只次品在第5次測試時被發(fā)現的情形共有 種 三、解答題（套題） 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，不同的排法有多少種？（1）全體排成一排（2）選其中5人排成一排（3）全體排成一排，其中甲只能在中間或者兩頭位置（4）全體排成一排，甲乙必須在兩頭（5）全體排成一排，甲不在最左邊，乙不在最右邊（6）全體排成一排，男女生各一邊（7）全體排成一排，男生必須排在一起（8）全體排成一排，其中甲必須在乙的左邊（9）全體排成一排，男生不能排在一起（10）全體排成一排，甲乙兩人之間必須有3人（11）排成前后兩排，前排3人，后排4人（12）排成前后2排，甲必須在前排請做完之后，再看答案【試題答案】一、選擇題1. A2. A3. C4. B5. D6. C7. C8. B9. A10. D二、填空題1. 擋板法，把100個名額看成100個位置，中間有99個空，插入59個擋板，分成60部分，即 種 2. 插空法：問題轉化為“在5盞亮燈的4個空中插入3盞暗燈”所以4種3. 244. 利用 ，結果為 5. 2x7x或2x7x20，解得x7或x96. 第4只次品在第5次測試時被發(fā)現，說明前四次測試中有3只次品，一只正品，第5次一定是次品，所以共有 種不同的方法。三、解答題（套題）【勵志故事】寬恕的力量在美國南北戰(zhàn)爭期間，有個名叫羅斯韋爾麥金太爾的年輕人被征入騎兵營。由于戰(zhàn)事進展不順，士兵奇缺，在幾乎沒有接受任何訓練的情況下，他就被臨時派往戰(zhàn)場。在戰(zhàn)斗中，年輕的麥金太爾擔驚受怕，終于開小差逃跑了。后來，他以臨陣脫逃的罪名被軍事法庭判處死刑。當麥金太爾的母親得知這個消息后，她向當時的總統(tǒng)林肯發(fā)出請求。她認為自己的兒子年紀輕輕，少不更事，他需要第二次機會來證明自己。然而部隊的將軍們力勸林肯嚴肅軍紀，聲稱如果開了這個先例，必將削弱整個部隊的戰(zhàn)斗力。在這種情況下，林肯陷入兩難境地。經過一番深思熟慮后，他最終決定寬恕這個年輕人，并說了這樣一句著名的話：“我認為，把一個年輕人槍斃對他本人絕對沒有好處。”為此他親自寫了一封信，要求將軍們放麥金太爾一馬：“本信將確保羅斯韋爾麥金太爾重返兵營，在服完規(guī)定年限的兵役后，他將不受臨陣脫逃的指控。”如今，這封褪了色的林肯親筆簽名信被一家著名的圖書館收藏展覽。這封信的旁邊還附帶了一張紙條，上面寫著：“羅斯韋爾麥金太爾犧牲于弗吉尼亞的一次激戰(zhàn)中，此信是在他的貼身口袋里發(fā)現的?！币坏┍唤o予第二次機會，麥金太爾就由怯懦的逃兵變成了無畏的勇士，并且戰(zhàn)斗到自己生命的最后時刻。由此可見，寬恕的力量何等巨大！由于種種原因，人不可能不犯錯誤，但只有寬恕才能給他第二次機會，也才有可能讓他彌補先前的過失。小編插語寬恕別人，也是在善待自己，這樣我們才能收獲更多。