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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案 北師大選修1-1 一、引入過程 當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時，截口曲線是橢圓，再觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；第二、你能舉出現(xiàn)實(shí)生活中圓錐曲線的例子．當(dāng)學(xué)生把上述兩個問題回答清楚后，要引導(dǎo)學(xué)生一起探究P41頁上的問題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備無彈性的細(xì)繩子一條（約10cm長，兩端各結(jié)一個套），教師準(zhǔn)備無彈性細(xì)繩子一條（約60cm，一端結(jié)個套，另一端是活動的），圖釘兩個）．當(dāng)套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是橢圓．啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆?。▌狱c(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗2．1．1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程． 二、新課講授過程 （i）由上述探究過程容易得到橢圓的定義． 〖板書〗把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）．其中這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．即當(dāng)動點(diǎn)設(shè)為時，橢圓即為點(diǎn)集． （ii）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 提問：已知圖形，建立直角坐標(biāo)系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關(guān)系． 無理方程的化簡過程是教學(xué)的難點(diǎn)，注意無理方程的兩次移項(xiàng)、平方整理． 設(shè)參量的意義：第一、便于寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義． 類比：寫出焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． （iii）例題講解與引申 例1 已知橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出．引導(dǎo)學(xué)生用其他方法來解． 另解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因點(diǎn)在橢圓上， 則． 例2在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？ 分析：點(diǎn)在圓上運(yùn)動，由點(diǎn)移動引起點(diǎn)的運(yùn)動，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可由點(diǎn)來表示，從而能求點(diǎn)的軌跡方程． 引申：設(shè)定點(diǎn)，是橢圓上動點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程． 解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡）設(shè)，；②（點(diǎn)與伴隨點(diǎn)的關(guān)系）∵為線段的中點(diǎn)，∴；③（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），∵，∴點(diǎn)的軌跡方程為；④伴隨軌跡表示的范圍． 例3如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程． 分析：若設(shè)點(diǎn)，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點(diǎn)的軌跡方程． 解法剖析：設(shè)點(diǎn)，則，； 代入點(diǎn)的集合有，化簡即可得點(diǎn)的軌跡方程． 引申：如圖，設(shè)△的兩個頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)在移動，且，且，試求動點(diǎn)的軌跡方程． 引申目的有兩點(diǎn)：①讓學(xué)生明白題目涉及問題的一般情形；②當(dāng)值在變化時，線段的角色也是從橢圓的長軸→圓的直徑→橢圓的短軸． 三、強(qiáng)調(diào)： 1、情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo) 通過作圖展示與操作，必須讓學(xué)生認(rèn)同：圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學(xué)生認(rèn)同與體會：橢圓的定義及特殊情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)間距離時，軌跡是線段；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學(xué)生用對稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；讓學(xué)生認(rèn)同與領(lǐng)悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來解，培養(yǎng)學(xué)生從定義的角度思考問題的好習(xí)慣；例2是典型的用代入法求動點(diǎn)的伴隨點(diǎn)的軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點(diǎn)解決問題；通過例3培養(yǎng)學(xué)生的對問題引申、分段討論的思維品質(zhì)． 2、能力目標(biāo) （1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線和拋物線的實(shí)際例子，能用數(shù)學(xué)符號或自然語言的描述橢圓的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)符號表示． （2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力． （3） 實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動手能力，綜合利用已有的知識能力． （4） 數(shù)學(xué)活動能力：培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動能力． （5） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 四、練習(xí)：第45頁1、2、3、4、 五、作業(yè)：第53頁2、3、