2019-2020年高中數(shù)學知識精要 12.三角函數(shù)教案 新人教A版1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形.按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，稱它形成一個零角.射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊.2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限.3. 終邊相同的角的表示： （1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是，合弧度.（答：；）（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .（3）終邊與終邊關于軸對稱.（4）終邊與終邊關于軸對稱.（5）終邊與終邊關于原點對稱.（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標軸上的角可表示為：.如的終邊與的終邊關于直線對稱，則_.（答：）4、與的終邊關系：由“兩等分各象限、一二三四”確定. 如若是第二象限角，則是第_象限角.（答：一、三）5.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積.（答：2）6、任意角的三角函數(shù)的定義：設是任意一個角，P是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是，那么，三角函數(shù)值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關.如（1）已知角的終邊經(jīng)過點P(5，12)，則的值為.（答：）；（2）設是第三、四象限角，則的取值范圍是_（答：（1，）；（3）若，試判斷的符號（答：負）提醒：三角函數(shù)符號規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；7.三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點是原點)”、正切線AT“站在點處(起點是)”.提醒：三角函數(shù)線（也可三角函數(shù)圖像）對由角范圍研究三角函數(shù)值的范圍有重要意義，三角函數(shù)線的重要應用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式.如（1）若，則的大小關系為_.(答：)；（2）若為銳角，則的大小關系為_ （答：）；（3）函數(shù)的定義域是_（答：）（4）的范圍是 8. 同角三角函數(shù)的基本關系式：同角三角函數(shù)的基本關系式的主要應用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值.在運用平方關系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值.如（1）函數(shù)的值的符號為_（答：大于0）；（2）若，則使成立的的取值范圍是_（答：）；（3）已知，則_（答：）；（4）已知，則_；_（答：；）；（5）已知，則等于A、 B、C、D、（答：B）；（6）已知，則的值為_（答：1）.特別提醒：（1）在運用公式時，要注意公式及其變式的結(jié)構(gòu)特點及適用條件.（2）利用平方關系時要注意符號的選取，取決于角所在的象限（3）在需要的情況下，.（答：）.9.三角函數(shù)誘導公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）.誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).如（1）的值為_（答：）；（2）已知，則_，若為第二象限角，則_.（答：；）10、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：提醒：（1）公式之間的聯(lián)系是怎樣的？（2） 熟悉公式的各種變形及公式的范圍，.如（1）下列各式中，值為的是 A、 B、C、D、（答：C）；（2）命題P：，命題Q：，則P是Q的A、充要條件 B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件（答：C）；（3）已知，那么的值為_（答：）；（4）的值是_（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是，乙求得的結(jié)果是，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是_（答：甲、乙都對）11. 三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點.基本的技巧有:（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，等），如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知，且，求的值（答：）；（3）已知為銳角，則與的函數(shù)關系為_（答：）(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）(3)公式變形使用以及逆用 如 sin = tan cos ，sin cos =2 sin 2， 等如（1）已知A、B為銳角，且滿足，則_（答：）；(2)設中，則此三角形是_三角形（答：等邊）= (答：)(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，).利用倍角公式或半角公式，可對三角式中某些項進行升降冪處理 ( 1sin 可化為，再用升次公式) ；，等從右到左為升冪，這種變形有利用根式的化簡或通分、約分；從左到右是降冪，有利于加、減運算或積和（差）互化如(1)若，化簡為_（答：）；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_（答：）(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同).如（1） （答：）；（2）求證：；（3）化簡：（答：）(6)常值變換主要指“1”的變換（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”，特別提醒：（1）與互余，都與存在“倍半”關系，（2）存在“平方”關系如（1）若 ，則 _（答：)，特別提醒：這里；（2）若，求的值.（答：）；（3）已知，試用表示的值（答：）.12、輔助角公式中輔助角的確定：在求最值、化簡時起著重要作用.特別地， 如（1）若方程有實數(shù)解，則的取值范圍是_.（答：2,2）；（2）當函數(shù)取得最大值時，的值是_(答：)；（3）如果是奇函數(shù)，則=(答：2)；（4）求值：_(答：32)13、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象.14、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R.（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時，取最小值1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值1.如（1）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則_，（答：或）；（2）函數(shù)（）的值域是_（答：1, 2）；（3）若，則的最大值和最小值分別是_ 、_（答：7；5）；（4）函數(shù)的最小值是_，此時_（答：2；）；（5）己知，求的變化范圍（答：）；（6）若，求的最大、最小值（答：，）.特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問題時，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？（3）周期性：、的最小正周期都是2；和的最小正周期都是.如(1)若，則_（答：0）；(2) 函數(shù)的最小正周期為_（答：）；(3) 設函數(shù)，若對任意都有成立，則的最小值為_（答：2）（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）.如（1）函數(shù)的奇偶性是_（答：偶函數(shù)）；（2）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則_（答：5）；提醒：相鄰的兩對稱軸、兩零點的距離是半個周期（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.特別提醒，別忘了！ 15、形如的函數(shù)：（1）幾個物理量：A振幅；頻率（周期的倒數(shù)）；相位；初相；（2）函數(shù)表達式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定，看最值定A：，看周期定：可通過移圖，最值點，初始零點（距原點最近且在圖像遞增段上的零點）來確定 如，的圖象如圖所示，則_（答：）；（3）函數(shù)圖象的畫法：“五點法”設，令0，求出相應的值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法.（4）函數(shù)的圖象與圖象間的關系：函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象；函數(shù)圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；函數(shù)圖象的橫坐標不變，縱坐標向上（）或向下（），得到的圖象.要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位，如（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到的圖象？（答：向上平移1個單位得的圖象，再向左平移個單位得的圖象，橫坐標擴大到原來的2倍得的圖象，最后將縱坐標縮小到原來的即得的圖象）；(2) 要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向_平移_個單位（答：左；）；（3）將函數(shù)圖像，按向量平移后得到的函數(shù)圖像關于原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量）；（4）若函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是（答：）（5）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導公式先將化正.函數(shù)是奇函數(shù) 函數(shù)是偶函數(shù) 函數(shù)是奇函數(shù) 函數(shù)是偶函數(shù)在當，求的值域時可借助單位圓（三角函數(shù)線）與三角函數(shù)圖像.注：三角函數(shù)的性質(zhì)一般是化為()在用公式求解（不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如常函數(shù)f(x)c（c為常數(shù)）是周期函數(shù)，其周期是異于零的實數(shù)，但沒有最小正周期）的值域為而非如（1）函數(shù)的遞減區(qū)間是_（答：）；（2）的遞減區(qū)間是_（答：）；（3）函數(shù)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是_、_（答：、）；（4）已知為偶函數(shù)，求的值.（答：）（5）設函數(shù)的圖象關于直線對稱，它的周期是，則A、B、在區(qū)間上是減函數(shù)C、D、的最大值是A（答：C）；（6）對于函數(shù)給出下列結(jié)論：圖象關于原點成中心對稱；圖象關于直線成軸對稱；圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；圖像向左平移個單位，即得到函數(shù)的圖像.其中正確結(jié)論是_（答：）；（7）已知函數(shù)圖象與直線的交點中，距離最近兩點間的距離為，那么此函數(shù)的周期是_（答：）16、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：.遇到有關正切函數(shù)問題時，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期.絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定. 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變；（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處.（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性.如下圖： 17. 三角形中的有關公式： (1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：正弦定理的一些變式：；已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀或求角. (4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）.特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性： ；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化.解斜三角形的常規(guī)思維方法是：已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = ，求另一角已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況已知三邊a、b、c，應余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C（2）與三角形有關的結(jié)論在中，在非直角ABC中，在中， A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列若k2且sin2k1+cos2k1=1，則sin=1，cos=0或sin=0,cos=1，若sin2k+cos2k=1，則sin=1，cos=0或sin=0,cos=1.如（1）中，A、B的對邊分別是，且，那么滿足條件的 A、 有一個解 B、有兩個解 C、無解 D、不能確定（答：C）；（2）在中，AB是成立的_條件（答：充要）；（3）在中， ，則_（答：）；(4)在中，分別是角A、B、C所對的邊，若，則_（答：）；（5）在中，若其面積，則=_（答：）；（6）在中，這個三角形的面積為，則外接圓的直徑是_（答：）；（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，= ，的最大值為（答：）；（8）在ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是（答：）；（9）設O是銳角三角形ABC的外心，若，且的面積滿足關系式，求（答：） 18.反三角函數(shù)：（1）反三角函數(shù)的定義（以反正弦函數(shù)為例）：表示一個角，這個角的正弦值為,且這個角在內(nèi).(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范圍分別是.在用反三角表示兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角、直線的傾斜角以及兩向量的夾角時，你是否注意到了它們的范圍？， 19、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關于此角的某一個三角函數(shù)（要注意選擇，其標準有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）.如（1）若，且、是方程的兩根，則求的值_（答：）；（2）中，則_（答：）；（3）若且，求的值（答：）.20.最值常見類型二次型型：，探究：已知：通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題：_=（ * ）并給出（ * ）式的證明.一般形式: 證明 左邊 = = 原式得證.（將一般形式寫成 等均正確，其證明過程可參照給分.）