2019-2020年高中數學知識精要 18.概率教案 新人教A版頻率與概率頻率在一定程度上可以反映事件發(fā)生的可能性的大小，頻率不是一個完全確定的數，無法從根本上來刻畫事件發(fā)生的可能性的大小，但從大量的重復實驗中發(fā)現，隨著試驗次數的增加，頻率就穩(wěn)定于某一固定值，這個固定值就是事件的概率.提醒：概率的統(tǒng)計定義是由頻率來表示的，但是它又不同于頻率的定義，只使用頻率來估算概率.頻率是實驗值，有不確定性，而概率是穩(wěn)定值.2.互斥事件與對立事件互斥事件：指不可能同時發(fā)生的事件，可以同時不發(fā)生.對立事件：A、B對立，即事件A、B不可能同時發(fā)生，但A、B中必然有一個發(fā)生.提醒：（1）對立是互斥，互斥未必對立.（2）可將所求事件化為互斥事件A、B的和，再利用公式來求，也可通過對立事件公式來求。A、B互斥A、B至少一個發(fā)生A、B都發(fā)生0A、B都不發(fā)生A、B恰有一個發(fā)生A、B至多一個發(fā)生（至少一個不發(fā)生）13.（1）古典概型：特性：每一次試驗中所有可能出現的結果都是有限的，每一個結果出現的可能性都是相等的. 基本步驟：計算一次試驗中基本事件的總數n 事件A包含的基本事件的個數m由公式計算.注：必須在解題過程中指出等可能的.如：在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是 。解：記大小相同的5個球分別為紅1，紅2，白1，白2，白3，則基本事件為：（紅1，紅2），（紅1，白1），（紅1，白2）（紅1，白3），（紅2，白3），共10個，其中至少有一個紅球的事件包括7個基本事件，所以，所求事件的概率為.本題還可以利用“對立事件的概率和為1”來求解，對于求“至多”“至少”等事件的概率頭問題，常采用間接法，即求其對立事件的概率，然后利用求解。（2）幾何概型特性：每一次試驗中所有可能出現的結果都是無限的，每一個結果出現的可能性都是相等的. 基本步驟：（1）構設變量（2）集合表示（3）作出區(qū)域（4）計算求解.如：（1）一條直線型街道的兩端A、B的距離為 180 米，為方便群眾，增加就業(yè)機會，想在中間安排兩個報亭C、D，順序為A、C、D、B.（I）若由甲乙兩人各負責一個，在隨機選擇的情況下，求甲、乙兩人至少一個選擇報亭C的概率.（II）求A與C、B與D之間的距離都不小于60米的概率.解：（I）兩個報亭由甲、乙隨機選擇一個，屬于古典概型，共有4個基本事件.記表示事件甲、乙兩人至少一個選擇報亭C，則中包含3個基本事件；根據古典概型概率公式，甲、乙兩人至少一個選擇報亭C的概率.（II）構設變量. 設A與C、B與D之間的距離分別為x米、y米. 集合表示. 用(x,y ) 表示每次試驗的結果，則所有可能結果為 ； 記A與C、B與D之間的距離都不小于60米為事件M，則事件M的可能結果為 作出區(qū)域. 如圖所示，試驗全部結果構成區(qū)域為直線與兩坐標軸所圍成的ABC. 而事件M所構成區(qū)域是三條直線 所夾中間的陰影部分.計算求解. 根據幾何概型公式，得到 . 所以，A與C、B與D之間的距離都不小于60米的概率為 . （2）將數字1、2、3、4填入編號為1、2、3、4的四個方格中，每格填一個數字，則每個方格的標號與所填數字均不相同的概率是_（答：）；（3）有一個公用電話亭，在觀察使用這個電話的人的流量時，設在某一時刻，有n個人正在使用電話或等待使用的概率為P（n），且P（n）與時刻t無關，統(tǒng)計得到 ，那么在某一時刻，這個公用電話亭里一個人也沒有的概率P（0）的值是（答：）理科（3）獨立事件：A、B獨立是A指發(fā)生與否對B的概率沒有影響. 提醒：（1）如果事件A、B獨立，獨立不一定互斥，互斥一定不獨立；（2）如果事件A、B獨立，那么事件A與、與及事件與也都是獨立事件 （3）可將所求事件化為相互獨立事件A、B的積，再利用公式來求.相互獨立A、B至少一個發(fā)生A、B都發(fā)生A、B都不發(fā)生A、B恰有一個發(fā)生A、B至多一個發(fā)生（至少一個不發(fā)生）如（4）設兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率P(A)是_（答：）；（5）某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得0分，假設這位同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學得300分的概率為_;這名同學至少得300分的概率為_（答：0.228；0.564）；（6）袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是_（答：）；（7）一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現的點數之和大于，則算過關，那么，連過前二關的概率是_（答：）；（8）有甲、乙兩口袋，甲袋中有六張卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；乙袋中有七張卡片，四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，從甲袋中取一張卡片，乙袋中取兩張卡片。設取出的三張卡片的數字乘積的可能值為且，其相應的概率記為，則的值為_（答：）；（9）平面上有兩個質點A、B分別位于（0，0）、（2，2）點，在某一時刻同時開始每隔1秒鐘向上下左右四個方向中的任何一個方向移動1個單位，已知質點A向左、右移動的概率都是，向上、下移動的概率分別是和p，質點B向四個方向中的任何一個方向移動的概率都是q。求p和q的值；試判斷最少需要幾秒鐘，A、B能同時到達D（1，2）點？并求出在最短時間內同時到達的概率. （答：；3秒；）（4）獨立事件重復試驗（二項分布）與超幾何分布二項分布：事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項)，其中為在一次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率。超幾何分布：在產品質量的不放回抽檢中，若件產品中有件次品，抽檢件時所得次品數X=m.則.此時我們稱隨機變量X服從超幾何分布提醒：兩種分布的抽樣條件不同： 超幾何分布是有限樣本不放回抽樣，超幾何分布中的參數是M,N,n；二項分布適用于n次獨立試驗，即有放回抽樣 （10）在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個球.摸到4個紅球就中一等獎，那么獲一等獎的概率是多少？解：由題意可見此問題歸結為超幾何分布模型由上述公式得 （11）一批零件共100件，其中有5件次品.現在從中任取10件進行檢查，求取道次品件數的分布列.解：由題意X012345P0583750.339390.070220.006380.000250.00001（12）小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是_（答：）；（13）冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等，則甲種飲料飲用完畢時乙種飲料還剩下3瓶的概率為_（答：）（5）條件概率在事件A已經發(fā)生的條件下，B事件發(fā)生的概率，稱B為事件A在給定下的條件概率，簡稱為對的條件概率，記作，且 .（14）市場上供應的燈炮中，甲廠產品占70%，乙廠占30%，甲廠產品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠的產品，表示產品為合格品，試寫出有關事件的概率。解：依題意 進一步可得： （15）10個考簽中有4個難簽，3人參加抽簽（不放回），甲先、乙次、丙最后。求甲抽到難簽以及甲、乙、丙都抽到難簽的概率。解 設事件、分別表示甲、乙、丙各抽到難簽。由公式(1.1)(1.10)及(1.11)，有提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率，關鍵是分清事件的性質。在求解過程中常應用等價轉化思想和分解(分類或分步)轉化思想處理，把所求的事件：轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件。（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：先設事件A=“”， B=“”；列式計算；作答。3.分布列、期望、方差（1）任意離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質：pi0,i=1,2,; p1+p2+=1（這是檢查及簡化運算的途徑之一）;（2）數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度（3）離散型隨機變量分布列的解法步驟：弄清隨機變量是什么？隨機變量的取值有哪些？弄清隨機變量的取值的意義是什么？其概率是多少？列出分布列利用公式求出期望、方差3.記住以下重要公式和結論：（1）期望值E x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差D ;（3）標準差；（4）若B（n,p）,則Enp, Dnpq,這里q=1- p;（16）甲、乙兩人同時各射擊一槍，擊落一敵機，上級決定獎勵a萬元，按誰擊落獎金歸誰，若同時擊落各一半原則分配獎金，甲、乙各得多少較合理。（已知甲的命中率為，乙的命中率為）解：敵機被擊落有以下三種可能：（1）甲單獨擊落；（2）乙單獨擊落；（3）甲、乙共同擊落.甲單獨擊落的概率為乙單獨擊落的概率為甲、乙共同擊落的概率為因此甲得到獎金數應為乙得到獎金數應為所以甲、乙二人獎金數之比為9：10時較合理。(17)袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p () 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)記5次之內(含5次)摸到紅球的次數為，求隨機變量的分布率及數學期望E () 若A、B兩個袋子中的球數之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值解 ()（i）(ii)隨機變量的取值為0，1，2，3，；由n次獨立重復試驗概率公式，得； （或）隨機變量的分布列是0123P的數學期望是 ()設袋子A中有m個球，則袋子B中有2m個球由，得(18)一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品數的期望分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨立的如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件解：設取得正品之前已取出的次品數為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3當=0時，即第一次取得正品，試驗停止，則P（=0）=當=1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則P（=1）=當=2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則P（=2）=當=3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則P（=3）=所以，E=