2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1數(shù)學(xué)歸納法教案（1） 新人教版選修4-5教學(xué)目標(biāo)1了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力2了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟3抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）引入師：從今天開(kāi)始，我們來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法什么是數(shù)學(xué)歸納法呢？應(yīng)該從認(rèn)識(shí)什么是歸納法開(kāi)始（板書(shū)課題：數(shù)學(xué)歸納法）（二）什么是歸納法（板書(shū)）師：請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)問(wèn)題1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問(wèn)怎么辦？（可準(zhǔn)備一袋白球、問(wèn)題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好）生：把它倒出來(lái)看一看就可以了師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性順序操作怎么做？生：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)師：對(duì)問(wèn)題的結(jié)果是什么呢？（演示操作過(guò)程）第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球a2，a3，a4。的值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式（問(wèn)題由小黑板或投影幻燈片給出）師：同學(xué)們解決以上兩個(gè)問(wèn)題用的都是歸納法，你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)是由特殊一般（板書(shū)）師：很好！其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們?cè)缇徒佑|到了例如，給出數(shù)列的前四項(xiàng)，求它的一個(gè)通項(xiàng)公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式用的也是歸納法，今后的學(xué)習(xí)還會(huì)看到歸納法的運(yùn)用在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法還應(yīng)該指出，問(wèn)題1和問(wèn)題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的問(wèn)題1中，一共12個(gè)球，全看了，由此而得到了結(jié)論這種把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱(chēng)為完全歸納法對(duì)于問(wèn)題2，由于自然數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測(cè)，得出結(jié)論的，這種歸納法稱(chēng)為不完全歸納法（三）歸納法的認(rèn)識(shí)（板書(shū)）歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書(shū)）師：用不完全歸納法既然要推測(cè)，推測(cè)是要有點(diǎn)勇氣的，請(qǐng)大家鼓起勇氣研究問(wèn)題3問(wèn)題3：對(duì)于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大小（問(wèn)題由小黑板或投影幻燈片給出）（給學(xué)生一定的計(jì)算、思考時(shí)間）生：經(jīng)過(guò)計(jì)算，我的結(jié)論是：對(duì)任意nN+，7n-36（7n+9）師：你計(jì)算了幾個(gè)數(shù)得到的結(jié)論？生：4個(gè)師：你算了n=1，n=2，n=3，n=4這4個(gè)數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧？生：對(duì)師：有沒(méi)有不同意見(jiàn)？生：我驗(yàn)了n=8，這時(shí)有7n-36（7n+9），而不是7n-36（7n+9）他的結(jié)論不對(duì)吧！師：那你的結(jié)論是什么呢？（動(dòng)員大家思考，糾正）生：我的結(jié)論是：當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，7n-36（7n+9）；當(dāng)n=6，7，8，時(shí)，7n-36（7n+9）師：由以上的研究過(guò)程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？首先要仔?xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個(gè)數(shù)，就作推測(cè)請(qǐng)把你們計(jì)算結(jié)果填入下表內(nèi)：師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測(cè)，決不是亂猜要注意對(duì)數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析由上表可看到，當(dāng)n依1，2，3，4，變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的7n-3的值以后一個(gè)是前一個(gè)的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相應(yīng)值的增長(zhǎng)速度還不到2倍完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，7n-36（7n+9）會(huì)成立的師：對(duì)問(wèn)題3推測(cè)有誤的同學(xué)完全不必過(guò)于自責(zé)，接受教訓(xùn)就可以了其實(shí)在數(shù)學(xué)史上，一些世界級(jí)的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時(shí)，也曾有過(guò)失誤資料1（事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀）費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)nN時(shí)，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n=0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了225+1=4 294 967 297=6 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)師：有的同學(xué)說(shuō)，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無(wú)法回答的但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上！再請(qǐng)看數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)資料（仍由學(xué)生閱讀）：資料2f（n）=n2+n+41，當(dāng)nN時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151， f（39）=1 601但是f（40）=1 681=412是合數(shù)師：算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說(shuō)世界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說(shuō)歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來(lái)師：歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)呢？生：完全歸納法不會(huì)出錯(cuò)師：對(duì)！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會(huì)出錯(cuò)呢？生：由于用不完全歸納法時(shí)，一般結(jié)論的得出帶有猜測(cè)的成份師：完全同意那么怎么辦呢？生：應(yīng)該予以證明師：大家同意吧？對(duì)于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明（四）歸納與證明（板書(shū)）師：怎么證明呢？請(qǐng)結(jié)合以上問(wèn)題1思考生：?jiǎn)栴}1共12個(gè)球，都看了，它的正確性不用證明了師：也可以換個(gè)角度看，12個(gè)球，一一驗(yàn)看了，這一一驗(yàn)看就可以看作證明數(shù)學(xué)上稱(chēng)這種證法為窮舉法它體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想師：如果這里不是12個(gè)球，而是無(wú)數(shù)個(gè)球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢？（稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來(lái)）師：這類(lèi)問(wèn)題的證明確不是一個(gè)容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀第一個(gè)正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科他運(yùn)用遞推的思想予以證明結(jié)合問(wèn)題1來(lái)說(shuō)，他首先確定第一次拿出來(lái)的是白球然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來(lái)的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來(lái)的也是白球”這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性大家看，是否證明了上述兩條，就使問(wèn)題得到解決了呢？生：是第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第四次、拿出的都是白球師：對(duì)它使一個(gè)原來(lái)無(wú)法作出一一驗(yàn)證的命題，用一個(gè)推一個(gè)的遞推思想得到了證明生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來(lái)嗎？生：一排排放很近的自行車(chē)，只要碰倒一輛，就會(huì)倒下一排生：再例如多米諾骨牌游戲（有條件可放一段此種游戲的錄相）師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠?jī)蓷l：（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒用這種思想設(shè)計(jì)出來(lái)的，用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法（五）數(shù)學(xué)歸納法（板書(shū)）師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問(wèn)題2推測(cè)而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？生：先證n=1時(shí)，公式成立（第一步）；再證明：若對(duì)某個(gè)自然數(shù)（n=k）公式成立，則對(duì)下一個(gè)自然數(shù)（n=k+1）公式也成立（第二步）師：這兩步的證明自己會(huì)進(jìn)行嗎？請(qǐng)先證明第一步（應(yīng)追問(wèn)各步計(jì)算推理的依據(jù)）師：再證明第二步先明確要證明什么？師：于是由上述兩步，命題得到了證明這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基本要求師：請(qǐng)小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟生：共兩步（學(xué)生說(shuō)，教師板書(shū)）：（1）n=1時(shí)，命題成立；（2）設(shè)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立師：其實(shí)第一步一般來(lái)說(shuō)，是證明開(kāi)頭者命題成立例如，對(duì)于問(wèn)題3推測(cè)得的命題：當(dāng)n=6，7，8，時(shí)，7n-36（7n+9）第一步應(yīng)證明n=6時(shí)，不等式成立（若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無(wú)時(shí)間可布置學(xué)生課下思考）（六）小結(jié)師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：（1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法分完全歸納法和不完全歸納法二種（3）由于不完全歸納法中推測(cè)所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行（4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開(kāi)始學(xué)習(xí)（七）課外作業(yè)（1）閱讀課本P112P115的內(nèi)容（2）書(shū)面作業(yè)P115練習(xí)：1，3課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說(shuō)明二步缺一不可你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋?zhuān)蓪W(xué)生仍未完全接受學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來(lái)的問(wèn)題，等等為此，我們?cè)O(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來(lái)這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開(kāi)始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過(guò)程分二個(gè)階段，第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，到對(duì)不完全歸納法的認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束第二階段是對(duì)策醞釀，從介紹遞推思想開(kāi)始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對(duì)理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來(lái)指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過(guò)程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試2在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與程度為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥學(xué)生的思維參與往往是從問(wèn)題開(kāi)始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來(lái)，是十分重要的這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，把課題的研究?jī)?nèi)容落于問(wèn)題中，在逐漸展開(kāi)中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究3理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件即n=k+1時(shí)等式也成立這是不正確的因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k，n=k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立證明的主要部分應(yīng)改為以上理解不僅是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過(guò)程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維方向