2019-2020年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.3幾何概型名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修3三點(diǎn)剖析 一、幾何概型的定義 在古典概型中，利用等可能性的概念，成功地計(jì)算了某一類(lèi)問(wèn)題的概率；不過(guò)，古典概型要求可能結(jié)果的總數(shù)必須有限.這不能不說(shuō)是一個(gè)很大的限制，人們當(dāng)然要竭力突破這個(gè)限制，以擴(kuò)大自己的研究范圍.因此歷史上有不少人企圖把這種做法推廣到有無(wú)限多個(gè)結(jié)果而又有某種等可能性的場(chǎng)合.這類(lèi)問(wèn)題一般可以通過(guò)幾何方法來(lái)求解. 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為幾何概型.對(duì)于這一定義也可以作以下理解：設(shè)在空間上有一區(qū)域D，又區(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)（如圖7-3所示），而區(qū)域D與d都是可以度量的（可求面積、長(zhǎng)度、體積等），現(xiàn)隨機(jī)地向D內(nèi)投擲一點(diǎn)M，假設(shè)點(diǎn)M必落在D中，且點(diǎn)M可能落在區(qū)域D的任何部分,那么落在區(qū)域d內(nèi)的概率只與d的度量（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，而與d的位置和形狀無(wú)關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)（擲點(diǎn)），稱(chēng)為幾何概型.圖7-3 二、幾何概型的概率計(jì)算 1幾何概型的概率計(jì)算公式 一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地抽取一點(diǎn)，記“該點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率 P(A)= 這里要求D的測(cè)度不為0，其中“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度、面積和體積等. 2幾何概型的概率的取值范圍 同古典概型概率的取值范圍一樣,幾何概型的概率的取值范圍也是0P(A)1這是因?yàn)閰^(qū)域d包含在區(qū)域D內(nèi)，則區(qū)域d的“測(cè)度”不大于區(qū)域D的“測(cè)度”.當(dāng)區(qū)域d的“測(cè)度”為0時(shí)，事件A是不可能事件，此時(shí)P(A)=0；當(dāng)區(qū)域d的“測(cè)度”與區(qū)域D的“測(cè)度”相等時(shí)，事件A是必然事件，此時(shí)P(A)=1 3求古典概型概率的步驟： （1）求區(qū)域D的“測(cè)度”； （2）求區(qū)域d的“測(cè)度”； （3）代入計(jì)算公式.問(wèn)題探究 問(wèn)題1:利用幾何概型求概率應(yīng)注意哪些問(wèn)題？ 探究：應(yīng)該注意到: （1）幾何型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類(lèi)型； （2）幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的題目； （3）公式為P(A)= ； （4）計(jì)算幾何概率要先計(jì)算基本事件總體與事件A包含的基本事件對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度（角度、面積、體積）.問(wèn)題2:如圖7-4所示,設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，在AB上任取一點(diǎn)C，則AC、CB、AM三個(gè)線段能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率是多少？圖7-4 探究：由于C點(diǎn)是線段AB上的任意點(diǎn)，所以這三條線段有可能構(gòu)成三角形.又由于點(diǎn)C落在AB上的哪個(gè)位置都是隨機(jī)的、等可能的，故此問(wèn)題屬于幾何概型.把“能構(gòu)成三角形”記為事件A由于構(gòu)成三角形的條件是兩邊之和大于第三邊且兩邊之差小于第三邊，而點(diǎn)C在線段AB上，則AC+CB=AB>AM，所以要AC、CB、AM三個(gè)線段能構(gòu)成三角形只需|AC-BC|<AM即可.如圖75所示，分別取AM和MB的中點(diǎn)D、E，則當(dāng)點(diǎn)C落在線段DE上時(shí)能滿足條件|AC-BC|<AM，由于D、E分別為AM和MB的中點(diǎn)，所以DE= AB所以，在AB上任取一點(diǎn)C，AC、CB、AM三個(gè)線段能構(gòu)成三角形的概率為.圖7-5 問(wèn)題3: 兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)就可離去，這兩人能會(huì)面的概率是多少呢？探究：本題中兩人在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間任意一個(gè)時(shí)刻會(huì)面是等可能的，所以本題的概率模型是一個(gè)幾何概型.本題解題的關(guān)鍵是找出兩人能會(huì)面的條件，并根據(jù)條件將兩人能會(huì)面的區(qū)域的面積求出.以x、y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，則兩人能會(huì)面的條件為|x-y|20.這是一個(gè)幾何概率問(wèn)題，可能的結(jié)果全體是邊長(zhǎng)為60的正方形里的點(diǎn)，能會(huì)面的點(diǎn)的區(qū)域用陰影標(biāo)出（如圖7-6所示）.正方形的面積可視為區(qū)域D，陰影部分的面積可視為區(qū)域d,所求概率為.圖7-6精題精講例1公共汽車(chē)每隔15分鐘來(lái)一輛，假定乘客在接連兩輛車(chē)之間的任何時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)停車(chē)站，試求乘客候車(chē)不超過(guò)5分鐘的概率.思路解析因?yàn)楣财?chē)每隔15分鐘來(lái)一輛，乘客在015分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到達(dá)車(chē)站是等可能的，所以乘客在哪個(gè)時(shí)間段到達(dá)車(chē)站的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān).這符合幾何概型的條件. 答案：設(shè)A=候車(chē)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘，我們所關(guān)心的事件A恰好是乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻,位于1015時(shí)間段內(nèi)，因而由幾何概型的概率公式得,即“乘客候車(chē)不超過(guò)5分鐘”的概率是.綠色通道分清“古典概型”與“幾何概型”的區(qū)別和聯(lián)系.古典概型和幾何概型中的基本事件的發(fā)生都是等可能的，所不同的是古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限多個(gè)，而幾何概型中的基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)窮多個(gè).例2假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：307：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：008：00之間，問(wèn)你父親在離開(kāi)家之前能得到報(bào)紙（稱(chēng)為事件A）的概率是多少？思路解析利用幾何概型正概率公式求解.圖7-7 答案：如圖7-7所示,正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間.假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件，根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示父親在離開(kāi)家前得到報(bào)紙，即事件A發(fā)生，所以=87.5%.例3已知關(guān)于x的方程ax2ax+a3=0. （1）若方程有兩實(shí)根，求a的范圍； （2）在（1）的前提下，任取一實(shí)數(shù)a，方程有兩正根的概率是多少?思路解析先利用判別式和韋達(dá)定理分別求出方程有兩個(gè)根、兩個(gè)正根時(shí)a的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式求解. 答案：（1）方程有兩實(shí)根的條件是a0，a24a（a3）0，即0<a4 （2）方程有正根的條件是a0，a24a（a3）0， >0，即3<a4. 設(shè)數(shù)軸上與數(shù)0、3、4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、C，由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，可以認(rèn)為幾何區(qū)域是線段AC，“方程有正實(shí)根”的幾何區(qū)域?yàn)榫€段BC .故所求概率為.綠色通道把“幾何區(qū)域”推廣到“區(qū)間”，這點(diǎn)是容易理解的，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的集合的區(qū)間與數(shù)軸上的線段是一一對(duì)應(yīng)的，幾何測(cè)度就是區(qū)間的長(zhǎng)度.