2019-2020年高中數(shù)學(xué) 基本不等式教案7 蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo)：通過這節(jié)課，使學(xué)生能夠運(yùn)用均值不等式定理來討論與不等式有關(guān)的各類問題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：均值不等式定理的靈活運(yùn)用。教學(xué)過程：1復(fù)習(xí)回顧2例題講解：例1：已知a>1，0<b<1，求證：log ablog ba2解題思路分析：由對數(shù)函數(shù)可知：log ba，log ab0，因此由log ab的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)聯(lián)想到用基本不等式去縮小，但條件顯然不滿足，應(yīng)利用相反數(shù)的概念去轉(zhuǎn)化。log ab0 log ab0 log ab22log ab2 即log ablog ba2當(dāng)且僅當(dāng)log ab，log a2b1，log ab1時(shí)，等號成立，此時(shí)ab1。例2：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.解題思路分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 xx x下將x，分別看成兩個(gè)因式x xx 例3：已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.解題思路分析：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡單 2 否則，這樣思考：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 例4：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.解題思路分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a，abb 由a0得，0b15令tb1，1t16，ab2（t）34 t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時(shí)，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y評注：在法一，通過消元得到一個(gè)分式函數(shù)，在分子（或分母）中含有二次式。這種類 型的函數(shù)一般都可轉(zhuǎn)化為x型，從而用基本不等式求解。其處理方法，請同學(xué)們仔細(xì)體會。實(shí)際上，一般含二次式的分式函數(shù)y（a，b，c，m，n，p不全為零）均可用此方法求解。例5：某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。解題思路分析：這是一道應(yīng)用題，一般說來，涉及到“用料最省”、“造價(jià)最低”等實(shí)際問題時(shí)，考慮建立目標(biāo)函數(shù)，求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。在建立關(guān)于造價(jià)的目標(biāo)函數(shù)時(shí)，造價(jià)是由池外圈周壁，中間隔墻造價(jià)，池底造價(jià)三部分組成，造價(jià)均與墻壁長度有關(guān)，應(yīng)設(shè)相關(guān)墻壁長度為未知數(shù)。若設(shè)污水池長為x米，則寬為 （米）水池外圈周壁長：2x（米）中間隔墻長：2（米）池底面積：200（米2）目標(biāo)函數(shù)：y400（2x2）248 280200800（x）1600 16001600448003課堂小結(jié)注意利用轉(zhuǎn)化思想，不等式使用的廣泛性。4課后作業(yè)1）正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc2）已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。3）若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。4）某房屋開發(fā)公司用100萬元購得一塊土地，該地可以建造每層1000m2的樓房，樓 房的總建筑面積（即各層面積之和）每平方米平均建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整幢樓房每平方米建筑費(fèi)用提高5%。已知建筑5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為400元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平方和的平均綜合費(fèi)用最低（綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和），公司應(yīng)把樓層建成幾層？