2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.2 雙曲線教案知識梳理定義1.到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡2.到定點F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（1）的點的軌跡方程1. =1，c=，焦點是F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）2.=1，c=，焦點是F1（0，c）、F2（0，c）性質(zhì)H：=1（a0，b0）1.范圍：|x|a，yR2.對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱3.頂點：軸端點A1（a，0），A2（a，0）4.漸近線：y=x，y=x5.離心率：e=（1，+）6.準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=7.焦半徑：P（x，y）H，P在右支上，r1=|PF1|=ex+a，r2=|PF2|=exa；P在左支上，r1=|PF1|=（ex+a），r2=|PF2|=（exa）思考討論 對于焦點在y軸上的雙曲線=1（a0，b0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式如何推導(dǎo)？點擊雙基1.（xx年春季北京）雙曲線=1的漸近線方程是A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x解析：由雙曲線方程可得焦點在x軸上，a=2，b=3.漸近線方程為y=x=x.答案：A2.過點（2，2）且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是A.=1 B.=1C.=1 D.=1解析：可設(shè)所求雙曲線方程為y2=，把（2，2）點坐標(biāo)代入方程得=2.答案：A3.如果雙曲線1上一點P到它的右焦點的距離是8，那么P到它的右準(zhǔn)線距離是A.10 B. C.2 D. 解析：利用雙曲線的第二定義知P到右準(zhǔn)線的距離為=8=.答案：D4.已知圓C過雙曲線=1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_.解析：由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上的頂點和焦點，所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為4.故圓心坐標(biāo)為（4，）.易求它到中心的距離為.答案：5.求與圓A：（x+5）2+y2=49和圓B：（x5）2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為_.解析：利用雙曲線的定義.答案：=1（x0）典例剖析【例1】 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：（1）與雙曲線=1有共同的漸近線，且過點（3，2）；（2）與雙曲線=1有公共焦點，且過點（3，2）.剖析：設(shè)雙曲線方程為=1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關(guān)于a、b的兩個方程，由題意易得關(guān)于a、b的兩個方程.解法一：（1）設(shè)雙曲線的方程為=1，由題意，得 =，=1， 解得a2=，b2=4.所以雙曲線的方程為=1.（2）設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為=1.解法二：（1）設(shè)所求雙曲線方程為（0），將點（3，2）代入得，所以雙曲線方程為.（2）設(shè)雙曲線方程為1，將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為1.評述：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.若已知雙曲線的漸近線方程axby=0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2b2y2=（0）.【例2】 （xx年全國，19）設(shè)點P到點M（1，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍.剖析：由|PM|PN|=2m，得|PM|PN|=2|m|.知點P的軌跡是雙曲線，由點P到x軸、y軸距離之比為2，知點P的軌跡是直線，由交軌法求得點P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得m的取值 范圍.解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得=2，即y=2x（x0）. 因此，點P（x，y）、M（1，0）、N（1，0）三點不共線，得|PM|PN|<|MN|=2.|PM|PN|=2|m|>0，0<|m|<1.因此，點P在以M、N為焦點，實軸長為2|m|的雙曲線上.故=1.將代入，并解得x2=，1m2>0，15m2>0.解得0<|m|<，即m的取值范圍為（，0）（0，）.評述：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識，考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義.【例3】 如下圖，在雙曲線=1的上支上有三點A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它們與點F（0，5）的距離成等差數(shù)列.（1）求y1+y3的值；（2）證明：線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求此點坐標(biāo).剖析：可以驗證F為焦點，利用第二定義可得三點到準(zhǔn)線的距離也成等差數(shù)列，進(jìn)而有三點縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，由此易得y1+y3的值.為求出AC的中垂線所過定點，不妨設(shè)想作出A與C關(guān)于y軸的對稱點A與C.由雙曲線的對稱性，易知A與C也在雙曲線上，且A、B、C滿足題設(shè)條件，所以AC的中垂線也應(yīng)過此定點.由兩條中垂線關(guān)于y軸對稱.所以定點應(yīng)在y軸上.（1）解：c=5，故F為雙曲線的焦點，設(shè)準(zhǔn)線為l，離心率為e，由題設(shè)有2|FB|=|FA|+|FC|. 分別過A、B、C作x軸的垂線AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，則由雙曲線第二定義有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.于是兩邊均加上準(zhǔn)線與x軸距離的2倍，有2|BB2|=|AA2|+|CC2|，此即26=y1+y3，可見y1+y3=12.（2）證明：AC的中垂線方程為y=（x），即y6=x+. 由于A、C均在雙曲線上，所以有=1，=1.相減得=.于是有=（y1+y3）=12=13，故變?yōu)閥=x+，易知此直線過定點D（0，）.評述：利用第二定義得焦半徑，可使問題容易解決.中垂線過弦AC的中點，中點問題往往把A、C的坐標(biāo)代入方程，兩式相減、變形，即可解決問題.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（xx年天津，4）設(shè)P是雙曲線=1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF1|=3，則|PF2|等于A.1或5 B.6 C.7 D.9解析：由漸近線方程y=x，且a=2，b=3.據(jù)定義有|PF2|PF1|=4，|PF2|=7.答案：C2.（xx年春季北京，5）“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.由此可知a與b符號相反，則方程表示雙曲線，反之亦然.答案：C3.（xx年上海）給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在下面橫線上._.解析：易知P與F1在y軸的同側(cè)，|PF2|PF1|=2a，|PF2|=17.答案：|PF2|=174.過點A（0，2）可以作_條直線與雙曲線x21有且只有一個公共點.解析：數(shù)形結(jié)合，兩切線、兩交線.答案：45.已知雙曲線的方程是16x29y2=144.（1）求這雙曲線的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；（2）設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.解：（1）由16x29y2=144得=1，a=3，b=4，c=5.焦點坐標(biāo)F1（5，0），F(xiàn)2（5，0），離心率e=，漸近線方程為y=x.（2）|PF1|PF2|=6，cosF1PF2= = =0.F1PF2=90.6.已知雙曲線x2=1與點P（1，2），過P點作直線l與雙曲線交于A、B兩點，若P為AB中點.（1）求直線AB的方程；（2）若Q（1，1），證明不存在以Q為中點的弦.（1）解：設(shè)過P（1，2）點的直線AB方程為y2=k（x1），代入雙曲線方程得（2k2）x2+（2k24k）x（k44k+6）=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=，由已知=xp=1，=2.解得k=1.又k=1時，=160，從而直線AB方程為xy+1=0.（2）證明：按同樣方法求得k=2，而當(dāng)k=2時，0，所以這樣的直線不存在.培養(yǎng)能力7.雙曲線kx2y21，右焦點為F，斜率大于0的漸近線為l，l與右準(zhǔn)線交于A，F(xiàn)A與左準(zhǔn)線交于B，與雙曲線左支交于C，若B為AC的中點，求雙曲線方程.解：由題意k0，c=，漸近線方程l為y=x，準(zhǔn)線方程為x=，于是A（，），直線FA的方程為 y=，于是B（，）.由B是AC中點，則xC=2xBxA，yC=2yByA.將xC、yC代入方程kx2y21，得k2c410kc2250.解得k（1+）5，則k4.所以雙曲線方程為4x2y218.（理）已知l1、l2是過點P（，0）的兩條互相垂直的直線，且l1、l2與雙曲線 y2x21各有兩個交點，分別為A1、B1和A2、B2.（1）求l1的斜率k1的取值范圍；（2）若A1B1A2B2，求l1、l2的方程.解：（1）顯然l1、l2斜率都存在，否則l1、l2與曲線不相交.設(shè)l1的斜率為k1，則l1的方程為yk1（x）.聯(lián)立得 yk1（x），y2x21，消去y得（k121）x22k12x2k1210. 根據(jù)題意得k1210， 10，即有12k1240. 完全類似地有10， 20，即有1240， 從而k1（，）（，）且k11.（2）由弦長公式得A1B1. 完全類似地有A2B2. A1B1A2B2，k1，k2.從而l1：y（x），l2：y（x）或l1：y（x），l2：y（x）（文）在雙曲線1上求一點M，使它到左右兩焦點的距離之比為32，并求M點到兩準(zhǔn)線的距離解：設(shè)M（x1，y1），左右兩焦點F1、F2，由雙曲線第二定義得MF1ex1a，MF2ex1a，由已知2（ex1a）3（ex1a），把e=，a=4代入，得x116，y13.點M的坐標(biāo)為（16，3）.雙曲線準(zhǔn)線方程為x=.M（16，3）到準(zhǔn)線的距離為12或19探究創(chuàng)新9.（xx年春季上海）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線C：=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.解：類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線=1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值.設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，n），則點N的坐標(biāo)為（m，n），其中=1.又設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），由kPM=，kPN=，得kPMkPN=，將y2=x2b2，n2=m2b2，代入得kPMkPN=.評注：本題主要考查橢圓、雙曲線的基本性質(zhì)，考查類比、歸納、探索問題的能力.它是一道綜合橢圓和雙曲線基本知識的綜合性題目，對思維能力有較高的要求.思悟小結(jié)本節(jié)重點是求雙曲線方程及由雙曲線方程求基本量，難點是雙曲線的靈活運用.解決本節(jié)問題應(yīng)注意以下幾點：1.由給定條件求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法.首先是根據(jù)焦點位置設(shè)出方程的形式（含有參數(shù)），再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意：（1）當(dāng)焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏；（2）已知漸近線的方程bxay=0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為b2x2a2y2=（0），根據(jù)其他條件確定的值.若求得0，則焦點在x軸上，若求得0，則焦點在y軸上.2.由已知雙曲線的方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再計算，并要特別注意焦點位置，防止將焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程寫錯.3.解題中，應(yīng)重視雙曲線兩種定義的靈活應(yīng)用，以減少運算量.教師下載中心教學(xué)點睛本節(jié)的重點是雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì).難點是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系及漸近線方程、準(zhǔn)線方程、第二定義的應(yīng)用.關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解和掌握有關(guān)概念，靈活地運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想及等價轉(zhuǎn)化的思想.為此建議在教學(xué)中注意以下幾點：1.雙曲線中有一個重要的RtOAB（如下圖），它的三邊長分別是a、b、c.易見c2=a2+b2，若記AOB=，則e=.2.雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MF1|MF2|=2a，其中2a|F1F2|，這里要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時，動點軌跡不存在.3.參數(shù)a、b是雙曲線的定形條件，兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a0，b0；雙曲線焦點位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB0且C0，就是雙曲線的方程.4.在運用雙曲線的第二定義時，一定要注意是動點P到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點與準(zhǔn)線不是對應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了.5.給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線.但已知漸近線方程，只是限制了雙曲線張口的大小，不能直接寫出雙曲線方程.但若已知漸近線方程是=0，則可把雙曲線方程表示為=（0），再根據(jù)已知條件確定的值，求出雙曲線的方程.拓展題例【例1】 已知雙曲線=1的離心率e>1+，左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上找一點P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項?解：設(shè)在左支上存在P點，使|PF1|2=|PF2|d，由雙曲線的第二定義知=e，即|PF2|=e|PF1|. 再由雙曲線的第一定義，得|PF2|PF1|=2a. 由，解得|PF1|=，|PF2|=，|PF1|+|PF2|F1F2|，+2c. 利用e=，由得e22e10，解得1e1+.e>1，1<e1+與已知e>1+矛盾.在雙曲線的左支上找不到點P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項.【例2】 設(shè)雙曲線的中心在原點，準(zhǔn)線平行于x軸，離心率為，且點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線的方程.分析：由雙曲線中心在原點，準(zhǔn)線平行于x軸，可設(shè)雙曲線的方程為=1.由離心率為，可得a2+b2=（a）2=c2.由點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大（?。┲祮栴}來討論，得到a、b應(yīng)滿足的另一關(guān)系式.從而求出a2、b2，本題得解.解：依題意，設(shè)雙曲線的方程為=1（a>0，b>0）.e=，c2=a2+b2，a2=4b2.設(shè)M（x，y）為雙曲線上任一點，則|PM|2=x2+（y5）2=b2（1）+（y5）2=（y4）2+5b2（|y|2b）.若42b，則當(dāng)y=4時，|PM|min2=5b2=4，得b2=1，a2=4.從而所求雙曲線方程為x2=1.若4<2b，則當(dāng)y=2b時，|PM|min2=4b220b+25=4，得b=（舍去b=），b2=，a2=49.從而所求雙曲線方程為=1.