2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 17.1 坐標系教案 理 新人教A版高考導航考試要求重難點擊命題展望一、坐標系1.了解在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，理解坐標系的作用.2.了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.4.能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義.5.了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間點的位置的方法，并與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比較，體會它們的區(qū)別.二、參數(shù)方程1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.3.了解平擺線和漸開線的生成過程，并能寫出它們的參數(shù)方程.4.了解其他擺線的生成過程；了解擺線在實際中應用的實例；了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用.本章重點：1.根據(jù)問題的幾何特征選擇坐標系；坐標法思想；平面直角坐標系中的伸縮變換；極坐標系；直線和圓的極坐標方程.2.根據(jù)問題的條件引進適當?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義；分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.本章難點：1.對伸縮變換中點的對應關(guān)系的理解；極坐標的不唯一性；曲線的極坐標方程.2.根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程.坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)，為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形，常需建立不同的坐標系，以便使建立的方程更加簡單，參數(shù)方程是曲線在同一坐標系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便.本專題要求通過坐標系與參數(shù)方程知識的學習，使學生更全面地理解坐標法思想；能根據(jù)曲線的特點，選取適當?shù)那€方程表示形式，體會解決問題中數(shù)學方法的靈活性.高考中，參數(shù)方程和極坐標是本專題的重點考查內(nèi)容.對于柱坐標系、球坐標系，只要求了解即可.知識網(wǎng)絡(luò)17.1坐標系典例精析題型一極坐標的有關(guān)概念 【例1】已知ABC的三個頂點的極坐標分別為A(5，)，B(5，)，C(4，)，試判斷ABC的形狀，并求出它的面積.【解析】在極坐標系中，設(shè)極點為O，由已知得AOB，BOC，AOC.又|OA|OB|5，|OC|4，由余弦定理得|AC|2|OA|2|OC|22|OA|OC|cosAOC52(4)2254cos133，所以|AC|.同理，|BC|.所以|AC|BC|，所以ABC為等腰三角形.又|AB|OA|OB|5，所以AB邊上的高h，所以SABC5.【點撥】判斷ABC的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，所以先計算邊長.【變式訓練1】(1)點A(5，)在條件：0，(2，0)下極坐標為 ，0，(2，4)下極坐標為；(2)點P(，)與曲線C：cos 的位置關(guān)系是 .【解析】(1)(5，)；(5，).(2)點P在曲線C上.題型二直角坐標與極坐標的互化 【例2】O1和O2的極坐標方程分別為4cos ，4sin .(1)把O1和O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過O1和O2交點的直線的直角坐標方程.【解析】(1)以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標系，且兩坐標系取相同單位長.因為xcos ，ysin ，由4cos ，得24cos ，所以x2y24x，即x2y24x0為O1的直角坐標方程.同理，x2y24y0為O2的直角坐標方程.(2) 由解得或即O1，O2的交點為(0,0)和(2，2)兩點，故過交點的直線的直角坐標方程為xy0.【點撥】 互化的前提條件：原點對應著極點，x軸正向?qū)鴺O軸.將互化公式代入，整理可以得到.【變式訓練2】在極坐標系中，設(shè)圓3上的點到直線(cos sin )2的距離為d，求d的最大值.【解析】將極坐標方程3化為普通方程x2y29，(cos sin )2可化為xy2.在x2y29上任取一點A(3cos ，3sin )，則點A到直線的距離為d，它的最大值為4.題型三極坐標的應用【例3】過原點的一動直線交圓x2(y1)21于點Q，在直線OQ上取一點P，使P到直線y2的距離等于|PQ|，用極坐標法求動直線繞原點一周時點P的軌跡方程.【解析】以O(shè)為極點，Ox為極軸，建立極坐標系，如右圖所示，過P作PR垂直于直線y2，則有|PQ|PR|.設(shè)P(，)，Q(0，)，則有02sin .因為|PR|PQ|，所以|2sin |2sin |，所以2或sin 1，即為點P的軌跡的極坐標方程，化為直角坐標方程為x2y24或x0.【點撥】用極坐標法可使幾何中的一些問題得到很直接、簡單的解法，但在解題時關(guān)鍵是極坐標要選取適當，這樣可以簡化運算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標時也容易一些.【變式訓練3】如圖，點A在直線x5上移動，等腰OPA的頂角OPA為120(O，P，A按順時針方向排列)，求點P的軌跡方程.【解析】取O為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系，則直線x5的極坐標方程為cos 5.設(shè)A(0，0)，P(，)，因為點A在直線cos 5上，所以0cos 05.因為OPA為等腰三角形，且OPA120，而|OP|，|OA|0以及POA30，所以0，且030.把代入，得點P的軌跡的極坐標方程為cos(30)5.題型四平面直角坐標系中坐標的伸縮變換【例4】定義變換T：可把平面直角坐標系上的點P(x，y)變換成點P(x，y).特別地，若曲線M上一點P經(jīng)變換公式T變換后得到的點P與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點.(1)若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為2，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2.求橢圓C的標準方程，并求出當tan 時，其兩個焦點F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點F1和F2的坐標；(2)當tan 時，求(1)中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標.【解析】(1)設(shè)橢圓C的標準方程為1(ab0)，由橢圓定義知焦距2c2c，即a2b22.又由已知得a2b24，故由、可解得a23，b21.即橢圓C的標準方程為y21，且橢圓C兩個焦點的坐標分別為F1(，0)和F2(，0).對于變換T：當tan=時，可得設(shè)F1(x1，y1)和F2(x2，y2)分別是由F1(，0)和F2(，0)的坐標經(jīng)變換公式T變換得到.于是即F1的坐標為(，)；又即F2的坐標為(，).(2)設(shè)P(x，y)是橢圓C在變換T下的不動點，則當tan 時，有x3y，由點P(x，y)C，即P(3y，y)C，得y21因而橢圓C的不動點共有兩個，分別為(，)和(，).【變式訓練4】在直角坐標系中，直線x2y2經(jīng)過伸縮變換后變成直線2xy4.【解析】總結(jié)提高1.平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示方法.如果規(guī)定0,02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(，)表示；反之也成立.2.熟練掌握幾種常用的極坐標方程，特別是直線和圓的極坐標方程.