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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 17.1 坐標系教案 理 新人教A版 高考導航 考試要求 重難點擊 命題展望 一、坐標系 1.了解在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，理解坐標系的作用. 2.了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 3.能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化. 4.能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義. 5.了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間點的位置的方法，并與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比較，體會它們的區(qū)別. 二、參數(shù)方程 1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. 2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程. 3.了解平擺線和漸開線的生成過程，并能寫出它們的參數(shù)方程. 4.了解其他擺線的生成過程；了解擺線在實際中應用的實例；了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用. 　　本章重點： 1.根據(jù)問題的幾何特征選擇坐標系；坐標法思想；平面直角坐標系中的伸縮變換；極坐標系；直線和圓的極坐標方程. 2.根據(jù)問題的條件引進適當?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義；分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程. 本章難點： 1.對伸縮變換中點的對應關系的理解；極坐標的不唯一性；曲線的極坐標方程. 2.根據(jù)幾何性質選取恰當?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程. 　　坐標系是解析幾何的基礎，為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形，常需建立不同的坐標系，以便使建立的方程更加簡單，參數(shù)方程是曲線在同一坐標系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便. 本專題要求通過坐標系與參數(shù)方程知識的學習，使學生更全面地理解坐標法思想；能根據(jù)曲線的特點，選取適當?shù)那€方程表示形式，體會解決問題中數(shù)學方法的靈活性. 高考中，參數(shù)方程和極坐標是本專題的重點考查內容.對于柱坐標系、球坐標系，只要求了解即可.  知識網絡 17.1　坐標系 典例精析 題型一　極坐標的有關概念 【例1】已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為A(5，)，B(5，)，C(－4，)，試判斷△ABC的形狀，并求出它的面積. 【解析】在極坐標系中，設極點為O，由已知得∠AOB＝，∠BOC＝，∠AOC＝. 又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝4，由余弦定理得 |AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA||OC|cos∠AOC＝52＋(4)2－254cos＝133， 所以|AC|＝.同理，|BC|＝. 所以|AC|＝|BC|，所以△ABC為等腰三角形. 又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5， 所以AB邊上的高h＝＝， 所以S△ABC＝5＝. 【點撥】判斷△ABC的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，所以先計算邊長. 【變式訓練1】(1)點A(5，)在條件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下極坐標為　　　 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下極坐標為　　　　??； (2)點P(－，)與曲線C：ρ＝cos 的位置關系是 . 【解析】(1)(5，－)；(－5，).(2)點P在曲線C上. 題型二　直角坐標與極坐標的互化 【例2】⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經過⊙O1和⊙O2交點的直線的直角坐標方程. 【解析】(1)以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標系，且兩坐標系取相同單位長. 因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標方程. 同理，x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標方程. (2) 由解得或 即⊙O1，⊙O2的交點為(0,0)和(2，－2)兩點， 故過交點的直線的直角坐標方程為x＋y＝0. 【點撥】 互化的前提條件：原點對應著極點，x軸正向對應著極軸.將互化公式代入，整理可以得到. 【變式訓練2】在極坐標系中，設圓ρ＝3上的點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距離為d，求d的最大值. 【解析】將極坐標方程ρ＝3化為普通方程x2＋y2＝9， ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化為x＋y＝2. 在x2＋y2＝9上任取一點A(3cos α，3sin α)， 則點A到直線的距離為d＝＝，它的最大值為4. 題型三　極坐標的應用 【例3】過原點的一動直線交圓x2＋(y－1)2＝1于點Q，在直線OQ上取一點P，使P到直線y＝2的距離等于|PQ|，用極坐標法求動直線繞原點一周時點P的軌跡方程. 【解析】以O為極點，Ox為極軸，建立極坐標系，如右圖所示，過P作PR垂直于直線y＝2，則有|PQ|＝|PR|.設P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，則有ρ0＝2sin θ.因為|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以 ρ＝2或sin θ＝1，即為點P的軌跡的極坐標方程，化為直角坐標方程為x2＋y2＝4或x＝0. 【點撥】用極坐標法可使幾何中的一些問題得到很直接、簡單的解法，但在解題時關鍵是極坐標要選取適當，這樣可以簡化運算過程，轉化為直角坐標時也容易一些. 【變式訓練3】如圖，點A在直線x＝5上移動，等腰△OPA的頂角∠OPA為120(O，P，A按順時針方向排列)，求點P的軌跡方程. 【解析】取O為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系， 則直線x＝5的極坐標方程為ρcos θ＝5. 設A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)， 因為點A在直線ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.① 因為△OPA為等腰三角形，且∠OPA＝120，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝30， 所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30.② 把②代入①，得點P的軌跡的極坐標方程為ρcos(θ－30)＝5. 題型四　平面直角坐標系中坐標的伸縮變換 【例4】定義變換T：可把平面直角坐標系上的點P(x，y)變換成點P′(x′，y′).特別地，若曲線M上一點P經變換公式T變換后得到的點P′與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點. (1)若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為2，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2.求橢圓C的標準方程，并求出當tan θ＝時，其兩個焦點F1、F2經變換公式T變換后得到的點F1′和F2′的坐標； (2)當tan θ＝時，求(1)中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標. 【解析】(1)設橢圓C的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)， 由橢圓定義知焦距2c＝2?c＝，即a2－b2＝2.① 又由已知得a2＋b2＝4，② 故由①、②可解得a2＝3，b2＝1. 即橢圓C的標準方程為＋y2＝1， 且橢圓C兩個焦點的坐標分別為F1(－，0)和F2(，0). 對于變換T：當tanθ=時，可得 設F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分別是由F1(－，0)和F2(，0)的坐標經變換公式T變換得到. 于是 即F1′的坐標為(－，－)； 又 即F2′的坐標為(，). (2)設P(x，y)是橢圓C在變換T下的不動點，則當tan θ＝時， 有?x＝3y，由點P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得＋y2＝1 ?因而橢圓C的不動點共有兩個，分別為(，)和(－，－). 【變式訓練4】在直角坐標系中，直線x－2y＝2經過伸縮變換　　　　　　　　　后變成直線2x′－y′＝4. 【解析】 總結提高 1.平面內一個點的極坐標有無數(shù)種表示方法. 如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標(ρ，θ)表示；反之也成立. 2.熟練掌握幾種常用的極坐標方程，特別是直線和圓的極坐標方程.