2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.10 函數(shù)的綜合應(yīng)用教案 理 新人教A版典例精析題型一抽象函數(shù)的計算或證明【例1】已知函數(shù) f (x)對于任何實數(shù)x，y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0.求證： f(x)是偶函數(shù).【證明】因為對于任何實數(shù)x、y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，令xy0，則f(0)f(0)2f(0)f(0)，所以2f(0)2f(0)f(0)，因為f(0)0，所以f(0)1，令x0，yx，則f(0x)f(0x)2f(0)f(x)，所以f(x)f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)，故f(x)是偶函數(shù).【點撥】對于判斷抽象函數(shù)的奇偶性問題常常采用“賦值法”探索求解途徑；判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性單調(diào)性時，既要扣緊函數(shù)奇偶性單調(diào)性的定義，又要靈活多變，以創(chuàng)造條件滿足定義的要求.【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)對任意的x，y有f(xy)f(x)f(y)，且f(x)的定義域為R，請判定f(x)的奇偶性.【解析】取xy0，得f(0)0.取yx，得f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).題型二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】已知函數(shù)f(x)x32x2ax1.(1)若函數(shù)f(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為4，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意得g(x)f(x)3x24xa.(1)f(1)34a4，所以a3.(2)方法一：當(dāng)g(1)a10，即a1時，g(x)f(x)的零點x(1,1)；當(dāng)g(1)7a0，即a7時，f(x)的零點x(1,1)，不合題意；當(dāng)g(1)g(1)0時，1a7；當(dāng)時，a1.綜上所述，a，7).方法二：g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點，等價于3x24xa在區(qū)間(1,1)上有解，也等價于直線ya與曲線y3x24x，x(1,1)有公共點，作圖可得a，7).方法三：等價于當(dāng)x(1,1)時，求值域：a3x24x3(x)2，7).【變式訓(xùn)練2】二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與坐標(biāo)軸交于(1,0)和(0，1)，且其頂點在第四象限，則abc的取值范圍為.【解析】由已知c1，abc0，所以abc2a2.又0a1，所以abc(2,0).題型三化歸求函數(shù)的最大值和最小值問題【例3】某個體經(jīng)營者把開始6個月試銷售A、B兩種商品的逐月投資與所獲得的純利潤列成下表：投資A商品(萬元)123456獲純利(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B商品(萬元)123456獲純利(萬元)0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營者下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品，但不知投入A、B兩種商品各多少才能獲得最大的利潤，請你幫助制定一個資金投入方案，使該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并根據(jù)你的方案求出經(jīng)營者下個月可能獲得的最大利潤(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字).【解析】以投資金額為橫坐標(biāo)，純利潤為縱坐標(biāo)，可以在直角坐標(biāo)系中畫出圖象.據(jù)此可以考慮用下列函數(shù)描述上述兩組數(shù)據(jù)之間的對應(yīng)關(guān)系ya(x4)22 (a0)，ybx，把x1，y0.65代入得a0.15，故前6個月所獲得的純利潤關(guān)于投資A商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y0.15(x4)22表示，再把x4，y1代入可得b0.25，故前6個月所獲得的純利潤關(guān)于投資B商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y0.25x表示，設(shè)下個月投資A商品x萬元，則投資B商品(12x)萬元，則可獲得純利潤為y0.15(x4)220.25(12x)0.15x20.95x2.6，可得當(dāng)x3.2時，y取最大值4.1萬元.故下個月分別投資A、B兩種商品3.2萬元和8.8萬元可獲得最大利潤4.1萬元.【點撥】本題可以用兩個函數(shù)近似地表示兩種投資方案，是估計思想的體現(xiàn).根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)，把近似函數(shù)的解析式求出來，由此求得最大利潤.解決此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)列出的散點圖來選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后求出待定系數(shù)便可求得函數(shù)解析式，再由解析式求最優(yōu)解.【變式訓(xùn)練3】求函數(shù)y的值域.【解析】x0時，y0；x0時，y，所以0y1；x0時，y，所以y0.綜上，y1.總結(jié)提高1.函數(shù)把數(shù)學(xué)各個分支緊緊地連在一起，函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角函數(shù)彼此滲透、互相融合，構(gòu)成了函數(shù)應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.解這類綜合問題應(yīng)注意如下幾點： (1)在解題時有些函數(shù)的性質(zhì)并不明顯，深入挖掘這些隱含條件，將獲得簡捷解法； (2)應(yīng)堅持“定義域優(yōu)先”的原則，先弄清自變量的取值范圍； (3)函數(shù)思想處處存在，要重視對函數(shù)思想的研究和應(yīng)用，在解題時，要有意識地引進(jìn)變量，建立相關(guān)函數(shù)關(guān)系，利用有關(guān)函數(shù)知識解決問題.2.解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：(1)閱讀理解，審清題意.讀題要逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹鏊磉_(dá)的實際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型.一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時引進(jìn)其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后再根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識和其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，實現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化，即建立數(shù)學(xué)模型；(3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題予以解答，求出結(jié)果；(4)將所得結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.