2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 21推理與證明課時(shí)檢測(cè)考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.觀察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)2.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4.(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是;(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=(用數(shù)值作答).答案(1)3,1,6(2)793.設(shè)函數(shù)f(x)=a為常數(shù)且a(0,1).(1)當(dāng)a=時(shí),求f;(2)若x0滿足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,則稱x0為f(x)的二階周期點(diǎn).證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),并求二階周期點(diǎn)x1,x2;(3)對(duì)于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1, f(f(x1),B(x2, f(f(x2),C(a2,0),記ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值.【詳細(xì)分析】(1)當(dāng)a=時(shí), f=,f=f=2=.(2)f(f(x)=當(dāng)0xa2時(shí),由x=x解得x=0,因?yàn)閒(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2<xa時(shí),由(a-x)=x解得x=(a2,a),因f=,故x=為f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a<x<a2-a+1時(shí),由(x-a)=x解得x=(a,a2-a+1),因f=,故x=不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2-a+1x1時(shí),由(1-x)=x解得x=(a2-a+1,1),因f=,故x=為f(x)的二階周期點(diǎn).因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),x1=,x2=.(3)由(2)得A,B,則S(a)=,S(a)=,因?yàn)閍,a2+a<1,所以S(a)=>0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3,因a(0,1),g(a)<0,則g(a)在區(qū)間上的最小值為g=>0,故對(duì)于任意a,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S(a)=>0則S(a)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故S(a)在區(qū)間上的最小值為S=,最大值為S=.考點(diǎn)二直接證明與間接證明4.設(shè)函數(shù)f(x)=(aR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,則a的取值范圍是()A.1,eB.1,1+eC.e,1+eD.0,1答案A5.已知函數(shù)f(x)=ex,xR.(1)求f(x)的反函數(shù)的圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程;(2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=x2+x+1有唯一公共點(diǎn);(3)設(shè)a<b,比較f與 的大小,并說(shuō)明理由.【詳細(xì)分析】(1)f(x)的反函數(shù)為g(x)=ln x,設(shè)所求切線的斜率為k,g(x)=,k=g(1)=1,于是在點(diǎn)(1,0)處切線方程為y=x-1.(2)解法一:曲線y=ex與y=x2+x+1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)(x)=ex-x2-x-1零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(0)=1-1=0,(x)存在零點(diǎn)x=0.又(x)=ex-x-1,令h(x)=(x)=ex-x-1,則h(x)=ex-1,當(dāng)x<0時(shí),h(x)<0,(x)在(-,0)上單調(diào)遞減.當(dāng)x>0時(shí),h(x)>0,(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.(x)在x=0處有唯一的極小值(0)=0,即(x)在R上的最小值為(0)=0.(x)0(僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),(x)在R上是單調(diào)遞增的,(x)在R上有唯一的零點(diǎn),故曲線y=f(x)與y=x2+x+1有唯一的公共點(diǎn).解法二:ex>0,x2+x+1>0,曲線y=ex與y=x2+x+1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線y=與y=1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),設(shè)(x)=,則(0)=1,即x=0時(shí),兩曲線有公共點(diǎn).又(x)=0(僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),(x)在R上單調(diào)遞減,(x)與y=1有唯一的公共點(diǎn),故曲線y=f(x)與y= x2+x+1有唯一的公共點(diǎn).(3)-f=-=-(b-a).設(shè)函數(shù)u(x)=ex-2x(x0),則u(x)=ex+-22-2=0,u(x)0(僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),u(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x>0時(shí),u(x)>u(0)=0.令x=,則得-(b-a)>0,>f.6.如圖,某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無(wú)礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.過(guò)AB,AC的中點(diǎn)M,N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個(gè)中截面,其面積記為S中.(1)證明:中截面DEFG是梯形;(2)在ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測(cè)三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時(shí),可用近似公式V估=S中h來(lái)估算.已知V=(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關(guān)系,并加以證明.【詳細(xì)分析】(1)依題意A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3,因此四邊形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFN=ME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可證A1A2FG,所以DEFG.又M、N分別為AB、AC的中點(diǎn),則D、E、F、G分別為A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中點(diǎn),即DE、FG分別為梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位線.因此DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3),而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估<V.證明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線,可得MN=BC=a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=(2d1+d2+d3),即V估=S中h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=(d2-d1)+(d3-d1).由d1<d2<d3,得d2-d1>0,d3-d1>0,故V估<V.7.已知函數(shù)f(x)=ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1x2)時(shí),x1+x2<0.【詳細(xì)分析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,+).f (x)=ex+ex=ex=ex.當(dāng)x<0時(shí), f (x)>0;當(dāng)x>0時(shí), f (x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+).(2)當(dāng)x<1時(shí),由于>0,ex>0,故f(x)>0;同理,當(dāng)x>1時(shí), f(x)<0.當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1 x2)時(shí),不妨設(shè)x1<x2,由(1)知,x1(-,0),x2(0,1).下面證明:x(0,1), f(x)<f(-x),即證ex<e-x.此不等式等價(jià)于(1-x)ex-<0.令g(x)=(1-x)ex-,則g(x)=-xe-x(e2x-1).當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,從而g(x)<g(0)=0.即(1-x)ex-<0.所以x(0,1), f(x)<f(-x).而x2(0,1),所以f(x2)<f(-x2),從而f(x1)<f(-x2).由于x1,-x2(-,0), f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,所以x1<-x2,即x1+x2<0.