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2019-2020年高中數(shù)學(xué)向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 【知識(shí)與技能】 1．了解相反向量的概念； 2．掌握向量的減法運(yùn)算，會(huì)用“三角形法則”和“平行四邊形法則”作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義； 3．了解向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想. 【過(guò)程與方法】 向量的減法運(yùn)算常有兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，即如果a+x=b，則x叫做向量b與a的差.這樣，作b－a時(shí)，可先在平面內(nèi)取一點(diǎn)，再作，則就是b－a. 第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量的加法定義向量的減法，即已知、，定義.在這種定義下，作時(shí)，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，則由向量加法的平行四邊形法則知，.由于，即就是.一般情況下，理解第一種定義方法可能存在困難，但能容易地作出；第二種定義方法容易接受，但作較繁.為便于接受，教材先類比相反數(shù)給出相反向量，再把定義為，然后借助幾何直觀得出的作法（向量減法的幾何意義）. 平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的加法及其交換律（a+b=b+a）又可以表示平行四邊形的性質(zhì)（在平行四邊形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，△ABD）.這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)系后，可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平，向量運(yùn)算（運(yùn)算律）把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起. 一．教學(xué)目標(biāo) 1．明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量； 2．能利用向量減法的運(yùn)算法則解決有關(guān)問(wèn)題； 3．啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題； 4．過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算及多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量的加法運(yùn)算，可以滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化，相互聯(lián)系的辨證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)． 二．教學(xué)重點(diǎn)：向量的減法的定義，作兩個(gè)向量的差向量； 三．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量減法定義的理解． 四．教學(xué)過(guò)程 ㈠設(shè)置情境 上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算：減法（板書(shū)課題：向量的減法） ㈡探索研究 （1）向量減法 ①相反向量：與長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做相反向量。記作 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量 注意：1與互為相反向量。即 2任意向量與它的相反向量的和是零向量。即 3如果、是互為相反向量，那么 ②與的差：向量加上的相反向量，叫做與的差 即 ③向量的減法：求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算叫做向量的減法 ④的作法：已知向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則。即可以表示為從向 量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量 ⑤思考：為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量是什么？（） 問(wèn)：還可以從加法的逆運(yùn)算來(lái)定義，如圖1所示，因?yàn)?，所以就是，因而只要作出了，也就作出了? 圖1 要作出，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則． 問(wèn)：若兩向量平行，如何作它們的差向量？?jī)蓚€(gè)向量的差仍是一個(gè)向量嗎？它們的大小如何（的幾何意義）？方向怎樣？ 答：兩個(gè)向量的差還是一個(gè)向量，的大小是，是連接、的終點(diǎn)的線段，方向指向被減向量． 練習(xí)：（投影） 判斷下列命題的真假 （1）．（ ） （2）相反向量就是方向相反的向量．（ ） （3）（ ） （4）（ ） 參考答案：√、、、 （2）例題分析 【例1】已知向量、、、，求作向量， 師：已知的四個(gè)向量的起點(diǎn)不同，要作向量與，首先要做什么？ 生：首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，， 作、，則， 圖2 【例2】如圖3所示，中，，用、表示向量、． 圖3 師：由平行四邊形法則得 由作向量差的方法 得 練習(xí)：（投影） 對(duì)例2進(jìn)行變式訓(xùn)練 變式一，本例中，當(dāng)、滿足什么條件時(shí)，與互相垂直？ 變式二，本例中，當(dāng)、滿足什么條件時(shí)，？ 變式三，本例中，與有可能相等嗎？為什么？ 參考答案： 變式一：當(dāng)為菱形時(shí)，即時(shí)，與垂直． 變式二：當(dāng)為長(zhǎng)方形時(shí)，即． 變式三：不可能，因?yàn)榈膶?duì)角線總是方向不同的． D d e c A f a b C B 例3 如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空: a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= . 解答：-f -e f 0（三角形法則的應(yīng)用） ㈢演練反饋（投影） （1）△中，，，則等于（ B ） A． B． C． D． （2）下列等式中，正確的個(gè)數(shù)是（ B ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．5 B．4 C．3 D．2 （3）已知，，則的取值范圍是 ［3，13］ ． ㈣總結(jié)提煉 （1）相反向量是定義向量減法的基礎(chǔ)，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量： （2）向量減法有兩種定義：①將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算：②將減法運(yùn)算定義為加法運(yùn)算的逆運(yùn)算：如果，則．從作圖上看這兩種定義沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，前一個(gè)定義就是教材采用的定義法，但作圖稍繁一點(diǎn)；后一種定義便于作圖和記憶，兩個(gè)有相同起點(diǎn)的向量相減，所得向量是連接兩向量終點(diǎn)，并且指向被減向量的終點(diǎn)． 五．板書(shū)設(shè)計(jì) ●題目答疑 習(xí)題(課本P)參考答案 1.略 2. ， ， ， 【例題】