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2019-2020年高中數(shù)學(xué)向量的數(shù)乘運算及其幾何意義 【知識與技能】 1.掌握向量數(shù)乘的運算并理解其幾何意義，掌握實數(shù)與向量的積的運算律； 2.理解兩個向量共線的等價條件，會根據(jù)條件判斷兩個向量是否共線； 3．?dāng)?shù)和向量的乘積，從形式上看，就是圖形的放大或縮小，從而揭示事物在不斷地運動變化過程中，“萬變不改其性”的哲理. 【過程與方法】 數(shù)的運算乘法可轉(zhuǎn)化成有幾個數(shù)相加，向量同樣可以有3a=a+a+a，-3a= -a+（- a）+（- a），從而引入了數(shù)乘. 通過實例觀察數(shù)乘的結(jié)果，分析這個結(jié)果和原來向量的關(guān)系: 長度和方向都改變了,最后從感性材料中得到：（1）實數(shù)和向量的乘積還是一個向量，（2）此向量和原向量是平行關(guān)系，（3）方向取決于所乘實數(shù)的符號. 一．教學(xué)目標(biāo) 1．理解并掌握實數(shù)與向量的積的意義． 2．理解兩個向量共線的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否共線； 3．通過對實數(shù)與向量的積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想. 二．教學(xué)重點：實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件； 三．教學(xué)難點：理解實數(shù)與向量的積的定義，向量共線的充要條件； 四．教學(xué)過程 ㈠設(shè)置情境 我們知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)，如力與加速度的關(guān)系f=ma，位移與速度的關(guān)系s=vt．這些公式都是實數(shù)與向量間的關(guān)系． 問：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請同學(xué)們作出和向量，（已知向量已作在投影片上），并請同學(xué)們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？ 答：的長度是的長度的3倍，其方向與的方向相同，的長度是長度的3倍，其方向與的方向相反． 本節(jié)課我們就來討論實數(shù)與向量的乘積問題，（板書課題：實數(shù)與向量的乘積（一）） ㈡探索研究 問：請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數(shù)與向量的積？可結(jié)合教材思考． 答：我想這樣規(guī)定：實數(shù)與向量的積就是，它還是一個向量． 想法很好．不過我們要對實數(shù)與向量相乘的含義作一番解釋才行． ⒈實數(shù)與向量的積的定義： 實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下： （1） （2）時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；特別地，當(dāng)或時， ⒉下面我們討論作為數(shù)乘向量的基本運算律： 問：求作向量和（為非零向量）并進(jìn)行比較，向量與向量相等嗎？（引導(dǎo)學(xué)生從模的大小與方向兩個方面進(jìn)行比較） 答：， 設(shè)、為任意向量，，為任意實數(shù)，則有： （1） （2） （3） 通常將（1）稱為結(jié)合律，（2）（3）稱為分配律，有時為了區(qū)別，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律． ⒊例題講解： 【例1】計算：（1）， （2）． （3） 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式． ⒋下面我們研究共線向量與實乘向量的關(guān)系． 問：請同學(xué)們觀察，，有什么關(guān)系． 答：因為，所以、是共線向量． 問：若、是共線向量，能否得出？為什么，可得出嗎？為什么？ 答：可以！因為、共線，它們的方向相同或相反． 由此可得向量共線的充要條件．向量與非零向量共線的充分必要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得（此即教材中的定理．） 對此定理的證明，是兩層來說明的． 其一，若存在實數(shù)，使，則由實數(shù)與向量乘積定義中的第（2）條知與共線，即與共線． 其二，若與共線，且不妨令，設(shè)（這是實數(shù)概念）．接下來看、方向如何：①、同向，則，②若、反向，則記，總而言之，存在實數(shù)（或）使． 【例2】如圖：已知，，試判斷與是否共線． 解： ∵ ∴與共線． 練習(xí)（投影儀） 1.設(shè)、是兩個不共線向量，已，，若、、三點共線，求的值． 解：∵、、三點共線． ∴、共線存在實數(shù)，使 即 ∴， 2.若為的對角線交點，，，則等于（ B ） A． B． C． D． 4．總結(jié)提煉 （1）與的積還是向量，a與是共線的． （2）一維空間向量的基本定理的內(nèi)容和證明思路，也是應(yīng)用該定理解決問題的思路．該定理主要用于證明點共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題． （3）運算律暗示我們，化簡向量代數(shù)式就像計算多項式一樣去合并同類項． 五．板書設(shè)計 教學(xué)目的：通過練習(xí)使學(xué)生對實數(shù)與積，兩個向量共線的充要條件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用來解決一些簡單的幾何問題。 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)：1．實數(shù)與向量的積 (強調(diào)：“?！迸c“方向”兩點) 2．三個運算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律） 3．向量共線的充要條件 【例題】 例1 若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ. 分析：此題可把已知條件看作向量ｍ、ｎ的方程，通過方程組的求解獲得ｍ、ｎ. 解：記3ｍ＋2ｎ＝ａ① ,ｍ－3ｎ＝ｂ②, 3②得3ｍ－9ｎ＝3ｂ③ ①－③得11ｎ＝ａ－3ｂ. ∴ｎ＝ａ－ｂ ④ 將④代入②有：ｍ＝ｂ＋3ｎ＝ａ＋ｂ 評述：在此題求解過程中，利用了實數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數(shù)的二元一次方程組的方法一致. 例2 凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F，求證＝(+). 解法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決. 過點C在平面內(nèi)作＝，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點. B A E F G D C ∴EF是△ADG的中位線，∴EF =， ∴＝. 而＝＋＝＋， ∴＝（＋）. 解法二：創(chuàng)造相同起點，以建立向量間關(guān)系 如圖，連EB，EC，則有＝＋， B A F G E D C ＝＋，又∵E是AD之中點， ∴有＋＝0,即有＋＝＋； 以與為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由F是BC之中點，可得F也是EG之中點. ∴＝＝（＋）＝（＋） 例3. 錯例分析 判斷向量ａ＝－2e與ｂ＝2e是否共線? 對此題，有同學(xué)解答如下： 解：∵ａ＝－2e，ｂ＝2e，∴ｂ＝－ａ，∴ａ與ｂ共線. 分析：乍看上述解答，真是簡單明快.然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存有問題，這是因為，原題已知中對向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e＝0，而當(dāng)e＝0時，顯然ａ＝0，ｂ＝0，此時，ａ不符合定理中的條件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線.可見，對e＝0的情況應(yīng)另法判斷才妥. 綜上分析，此題應(yīng)解答如下： 解：(1)當(dāng)e＝0時，則ａ＝－2e＝0 由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時ａ與ｂ共線. (2) 當(dāng)e≠0時，則ａ＝－2e≠0，ｂ＝2e≠0 ∴ｂ＝－ａ(這時滿足定理中的ａ≠0，及有且只有一個實數(shù)λ（λ＝－1），使得ｂ＝λａ成立),∴ａ與ｂ共線. 綜合(1)、(2)可知，ａ與ｂ共線. ●題目答疑 習(xí)題(課本P)參考答案 1.略; 2. =，=; 3. (1)b=2a, (2) b=a (3) b=a (4) b=a 4. (1)共線,（2）共線; 5. (1)3a -2b (2) -a +b (3) 2ya