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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練63 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 理 新人教版 一、選擇題 1．(xx廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P A.　　　 B．2　　　 C.　　　 D．3 【解析】　E(X)＝1＋2＋3＝，選A. 【答案】　A 2．正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(－1,0)上取值的概率分別為m，n，則(　　) A．m＞n B.m＜n C．m＝n D.不確定 【解析】　∵區(qū)間(2,3)和(－1,0)恰好關(guān)于μ＝1對(duì)稱，從而正態(tài)總體N(1,9)在兩區(qū)間上取值的概率相等，即m＝n. 【答案】　C 3．(xx海淀模擬)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為(　　) A．32－2 B.2－4 C．32－10 D.2－8 【解析】　∵E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝C11＝32－10. 【答案】　C 4．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A．100 B.200 C．300 D.400 【解析】　記不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ，則ξ～B(1 000,0.1) ∴E(ξ)＝1 0000.1＝100. 又X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200. 【答案】　B 5．(xx湖北高考)如圖1097，將一個(gè)各面 圖1097 都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　依題意得X的取值可能為0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 【答案】　B 6．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球．否則一直發(fā)到3次為止，設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】　由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2， 則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，又由p∈(0,1)，可得p∈. 【答案】　C 二、填空題 7．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________． 【解析】　E(X)＝10.7＋00.3＝0.7. 【答案】　0.7 8．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________. 【解析】　由題意知取到次品的概率為， ∴X～B， ∴D(X)＝3＝. 【答案】　 9．(xx東北三校聯(lián)考)育才學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為殘疾人志愿者，若用隨機(jī)變量X表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望E(X)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)． 【解析】　X的可能取值為0,1,2. ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，∴E(X)＝0＋1＋2＝＝. 【答案】　 三、解答題 10．(xx四川高考)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立． (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列． (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比．分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因． 【解】　(1)X可能的取值為10,20,100，－200. 根據(jù)題意，有 P(X＝10)＝C12＝， P(X＝20)＝C21＝， P(X＝100)＝C30＝， P(X＝－200)＝C03＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)，則 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. (3)X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝10＋20＋100－200＝－. 這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)， 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大． 11．(xx汕頭模擬)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 【解】　(1)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(4－1.5)2＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a22.75＝11，即a＝2. 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝21.5＋b，得b＝－2； 當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－21.5＋b，得b＝4. ∴或即為所求． 12．(xx湖北高考)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫(kù)區(qū)降水之和．單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立． (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 1 2 3 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？ 【解】　(1)依題意，p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7， p3＝P(X＞120)＝＝0.1. 由二項(xiàng)分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋43＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬元)． ①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形． 由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y＝5 000，E(Y)＝5 0001＝5 000. ②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形． 依題意，當(dāng)40＜X＜80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當(dāng)X≥80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 0002＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下： Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)＝4 2000.2＋10 0000.8＝8 840. ③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形． 依題意，當(dāng)40＜X＜80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當(dāng)80≤X≤120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 0002－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當(dāng)X＞120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 0003＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 4000.2＋9 2000.7＋15 0000.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)．