第2講 運動和物體系的相關(guān)速度一、知識精講1直線運動和曲線運動 勻變速直線運動：勻變速直線運動包括勻加速直線運動和勻減速直線運動兩種情況，它的特點是加速度a=恒量，并與速度在同一直線上勻變速運動的基本公式為： 勻變速曲線運動：勻變速曲線運動的特點是a=恒量，但與速度的方向不在同一直線上，如斜拋運動，研究斜拋運動可以有多種方法，既可以將它看成是水平方向的勻速運動和豎直方向的（上或下）拋運動的合成；也可以看做是拋出方向的勻速運動和一個自由落體運動的合成勻速圓周運動：勻速圓周運動的特點是a與的大小為恒量，但它們的方向無時無刻不在改變，它是一種特殊的曲線運動，但卻是研究曲線運動的基礎(chǔ)，一般曲線運動的任何一個位置，都可以作為一個瞬時的圓周運動來研究。 我們經(jīng)常將圓周運動分解成法向和切向兩個方向來研究，法向加速度，對于勻速圓周運動，其切向的加速度為零，如果是變速圓周運動，那么它在切向上也有加速度此時它的合加速度是：。2相對運動： 在大多數(shù)情況下，我們都習(xí)慣于以地面作為參照物，但在某些場合，我們選擇其他一些相對地面有速度的物體作為參照物，這樣會給解決問題帶來方便，所以相對運動就是研究物體對于不同參考系的運動以及它們之間的聯(lián)系，比如A物體相對于地面的速度為，如果取另一個相對地面有速度的B物體作參照物，那么A物體相對B物體的速度為： 或通常把物體相對“固定”參考系的速度稱為絕對速度，把相對于“運動”參考系的速度稱為相對速度，而把運動參考系相對固定參考系的速度稱為牽連速度，所以上式我們可以表述為“相對速度等于絕對速度和牽連速度之差”速度的合成必須用平行四邊形定則進行計算3剛體的平動和轉(zhuǎn)動剛體：剛體是指在任何條件下，形狀和大小不發(fā)生變化的物體。這樣的物體實質(zhì)上是不存在的，但固體在一般情形下可視為剛體平動：剛體在運動過程中，其上任一直線段在各個時刻的位置始終保持平行，這種運動稱為平動做平動的物體可視為質(zhì)點轉(zhuǎn)動：剛體所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動，這種運動稱為轉(zhuǎn)動，這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。如果轉(zhuǎn)軸固定不動，就稱為定軸轉(zhuǎn)動角速度： 即單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度（角位移），對于非勻速轉(zhuǎn)動，上式只是求出剛體在t時間內(nèi)的平均角速度，對于瞬時角速度，角加速度：單位時間內(nèi)角速度的變化量。對于勻變速轉(zhuǎn)動，可以類比勻變速直線運動的規(guī)律，有 定軸轉(zhuǎn)動中、與線速度，切向加速度和法向加速度的關(guān)系為 4關(guān)聯(lián)速度 所謂關(guān)聯(lián)速度就是兩個通過某種方式聯(lián)系起來的速度比如一根桿上的兩個速度通過桿發(fā)生聯(lián)系，一根繩兩端的速度通過繩發(fā)生聯(lián)系常用的結(jié)論有： 桿（或張緊的繩）上各點沿桿（或張緊的繩）方向的速度分量相同； 如果桿（或張緊的繩）圍繞某一點轉(zhuǎn)動，那么桿（或張緊的繩）上各點相對轉(zhuǎn)動軸的角速度相同 二、教你一手類型一、勻速直線運動的問題本來是物理學(xué)中最基本的知識，但往往當(dāng)基本模型隱藏得比較深的時候，就成為一種比較難解的題，要解這類題目時，一般都要進行某種轉(zhuǎn)換把其本來的模型突顯出來才能找出簡便的解題方法。例1在聽磁帶錄音機的錄音磁帶時發(fā)覺，帶軸于帶卷的半徑經(jīng)過時間t1=20 min減小一半問此后半徑又減小一半需要多少時間？分析和解：本題的關(guān)鍵在于要弄清錄音磁帶轉(zhuǎn)動時是轉(zhuǎn)軸勻速，還是帶速恒定，這要聯(lián)系實際聽樂音所需的效果就可以確定應(yīng)該是帶速恒定，然后再把磁帶卷過的長度轉(zhuǎn)換到帶卷的面積來考慮問題即可解題。設(shè)帶半徑的初半徑為4r，于是當(dāng)半徑減少一半，成為2r時，帶卷的面積減少了這等于所繞帶的長度，與帶的厚度d之乘積在聽錄音時帶運行的速度恒定，所以，于是有 當(dāng)帶軸上半徑又減少一半（從2r到r）時，帶卷的面積減少了，即 由得 類型二、相對運動的問題是運動學(xué)中一種比較難處理的類型，一般來說，選擇不同的參考系物體的運動狀態(tài)不同，但采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法也可以改變物體的運動情況特別是可以把直覺看來是曲線運動的物體轉(zhuǎn)換成直線運動的情況卻很少學(xué)生了解，解題時采用這樣的方法可以使問題簡化很多。例2由于汽車在冰面上行駛時摩擦因數(shù)很小，所以其最大加速度不能超過a=0.5m/s2根據(jù)要求，駕駛員必須在最短時間內(nèi)從A點到達B點，直線AB垂直于汽車的初始速度，如圖2一1所示如果A、B之間的距離AB=375 m，而初速度=10 m/s，那么這個最短時間為多少？其運動軌跡是什么？分析和解：本題是一個典型的相對運動問題，而且用常規(guī)的方法是很 難解出此題的，然而如果才坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換法解此題，其難度卻可以大大降低。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：汽車在A點不動，而讓B點以恒速向汽車運動的相 反方向運動在此坐標(biāo)系內(nèi)汽車為了盡快與B點相遇，必須沿直線以恒加速度a向B點駛?cè)ゼ僭O(shè)它們在D點相遇，如圖22所示設(shè)AB=b，我們可以列出： 由式可得： 將數(shù)據(jù)代人式得t50s。在地球坐標(biāo)系內(nèi)，它的運動是兩個不同方向上的勻速直線運動和勻加速直線運動的合運動，因而它的運動軌跡是一條拋物線 類型三、關(guān)聯(lián)速度問題是運動的合成和分解的一個基本模型，關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)動和平動的關(guān)聯(lián)，分析時既要考慮運動的獨立性原理，又要考慮物體實際的運動軌跡，還要考慮連繩的長度，建立好正確的幾何模型對解題至關(guān)重要。 例3線軸置于斜面上，斜面與水平面的夾角為.線的自由端固定住（如圖23）線繩為垂直線時的瞬間線軸的旋轉(zhuǎn)角速度等于求在這瞬間的： 線軸軸心的速度；線軸與斜面相切點的速度 線軸的半徑為R.分析和解：本題中由于線繩不能伸長，所以垂直線最下面的點和與其相接觸的線軸上的A點的速度相同，的方向是水平方向線軸的運動由兩個運動合成：平行于斜面的直線運動，其速度為；繞軸心的順時針轉(zhuǎn)動，其角速度等于。在題中情況下,A點的速度（圖2 4a)等于不難看出，且，由此可得 同理可以求出線軸與斜面相切C點的速度（圖2一4b) 其速度在斜面方向的投影為 將代人得例4AC、BD兩桿均以角速度繞A、B兩固定點在同一豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，AB=，轉(zhuǎn)動方向如圖1一5所示，當(dāng)t=0時，a =600，試求t時刻交點M的速度和加速度分析和解：本題實質(zhì)上也是關(guān)聯(lián)速度的問題，但其關(guān)聯(lián)的本質(zhì) 是兩桿的角速度相同，所以+=1200不變，推知M點的軌跡在正三角形M外接圓上運動由此可重點在幾何模型上去探求解法。在t=0時刻，ABM為正三角形，則AM=BM=，兩桿旋轉(zhuǎn) 過程中，因轉(zhuǎn)動的角速度相同，則角增加量等于角的減小量，+=1200不變，則頂角M大小始終不變，即M=600，則M點的軌跡在正三角形ABM外接圓上運動（如圖2一6所示）。則MOM = 2 MB M ，則M = 2M點作以半徑為的勻速圓周運動在任意t時刻速度為：，向心加速度為：類型四、物理學(xué)中特殊的曲線運動主要有兩類，即圓周運動和拋體運動，其中拋體運動軌跡的曲率半徑是隨時變化的，所以在考慮拋體運動時，如果要計算向心加速度，則必須通過有關(guān)運動的計算得出曲率半徑才能求解。例5以速度、與水平方向成角拋出石塊，石塊沿某一軌道飛行如果蚊子以大小恒定的速率沿同一軌道飛行問蚊子飛到最大高度一半處具有多大加速度？空氣阻力不計分析和解：蚊子的運動實際上是勻速率曲線運動它的加速度就是它運動到不同位置時的向心加速度關(guān)鍵在于求出最大高度一半處時的曲率半徑R我們可以根據(jù)軌道方程，求出曲率半徑R現(xiàn)在我們根據(jù)石塊的運動來求曲率半徑石塊的運動為斜上拋運動，它到達的最大高度為設(shè)在處，速度與水平方向成角運動速度關(guān)系為， 故有由以上四式得將加速度g分解為法向和切向方向得根據(jù)向心加速度公式，得蚊子以的恒定速率沿石塊的軌跡運動，蚊子在粵處曲率半徑仍為石塊運動到此的曲率半徑R，但切向加速度為0，法向加速度，蚊子的加速度等于該處的法向加速度即為蚊子飛到最大高度一半處具有的加速度類型五、剛體的平動和轉(zhuǎn)動問題的解題關(guān)鍵在于分析清楚物體間的內(nèi)部約束和外界約束，其約束條件往往就是解題的突破口。例6圖27細(xì)桿AB長,端點A、B分別被約束在和軸上運動，試求：(1）桿上與A相距()的P點的運動軌跡；(2)如果圖中角和為已知，那么P點的、方向分運動速率、是多少？分析和解：本題中的內(nèi)部約束就是桿長和P點在桿中的位置，而外部約束是A、B分別被約束在和軸上運動，這樣就確定了它們之間的幾何關(guān)系。(1)桿A端在軸上的位置用坐標(biāo)九表示，桿B端的位置用坐標(biāo)表示，P點的坐標(biāo)為（），利用幾何關(guān)系，得出與的關(guān)系為即由以上兩式，得這是一個橢圓方程，故P點的運動軌跡為橢圓 (2)設(shè)在t時間內(nèi)，P點坐標(biāo)的改變量為和，桿A、B兩端坐標(biāo)的相應(yīng)改變量為和，利用P點坐標(biāo)與A、B兩端坐標(biāo)在幾何上的關(guān)連有，根據(jù)速度分量的定義，當(dāng)t0時，式中和分別是A端和B端的速度由AB桿不可伸長，有 最后得出P點的速度分量為 三、小試身手1線段AB長S，分成n等分，一質(zhì)點由A靜止出發(fā)以加速度a向B作分段勻加速度直線運動，當(dāng)質(zhì)點到達每一等分的末端時，它的加速度增加，求質(zhì)點運動到B點時的速度。2質(zhì)點P1，以由A向B作勻速運動，同時質(zhì)點P2以從B指向C作勻速運動，ABC=且為銳角，如圖28，試確定何時刻P1P2的間距d最短，為多少？3處于一平直軌道上的甲、乙兩物相距S，同時同向開始運動甲以初速、加速度a1向乙作勻加速運動，乙作初速為零、加速度為a2的勻加速直線運動，設(shè)兩車相互超前時各不影響，試討論兩車相遇的條件及對應(yīng)的相遇次數(shù)4在傾角為足夠長的斜坡上，以初速度發(fā)射一炮彈，設(shè)與斜坡的夾角為，如圖29所示，求炮彈落地點離發(fā)射點的距離L5 兩直桿、，交角為，交點為A，若二桿各以垂直于自身的速度、沿著紙平面運動，如圖210所示求交點A運動速度的大小6 一塊小木塊P放在很粗糙的水平面上，被一根繩拉著滑動，繩的另一端Q以速度在軌道中運動，繩長，繩與軌道的夾角是（圖211）求此時P的速度和加速度7 一個足夠大的房間高為H，一盞燈掛在離地面高h處，燈泡破裂，碎片以同樣大小的速度向四面八方飛去，如果碎片與天花板的碰撞是彈性的，與地板的碰撞是完全非彈性的，那么碎片灑落在地板上的半徑多大？若H二5m，=10 m/s，求：h為多大時，R有最大值，并求出該最大值。8在豎直平面內(nèi)，支在原點O的一根彎桿，其形狀可以用函數(shù)來描寫，為有長度量綱的非零正常數(shù)在桿上穿一滑塊，桿與滑塊間的靜摩擦因數(shù)為（圖212） （1）不考慮摩擦，求滑塊的高度為z時，它在沿桿方向的加速度的大小下列5種答案中有一個是正確的，試作出判斷并說明理由:0、g、。 （2）考慮摩擦，但桿不動，在什么情況下滑塊可以在桿上靜止？（用z、g、k表示） （3）現(xiàn)在設(shè)桿以角速度繞z軸勻速轉(zhuǎn)動，且有關(guān)系，這時滑塊可以在何處相對于桿靜止？ （4）若=0.5，則滑塊不滑動的條件又如何？9 圖213所示為用三角形剛性細(xì)桿AB、BC、CD連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。AB和CD桿可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動，A、D兩點位于同一水平線上。BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動（類似鉸鏈）。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時，AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成45角，已知AB桿的長度為，BC桿和CD桿的長度由圖給定。求此時C點加速度的大小和方向（用與CD桿之間的夾角表示）2019-2020年高中物理奧賽 第2講 運動和物體系的相關(guān)速度教案1 解：質(zhì)點由A靜止出發(fā)以加速度a作勻加速度直線運動的位移為，質(zhì)點的速度由運動學(xué)公式可得，同理第二個的初速度為，加速度為，則，依次類推，則，所以質(zhì)點運動到B點時的速度為2解：設(shè)經(jīng)過時間t相距為d，則此時質(zhì)量點P1前進的距離為，P2前進的距離為，由余弦定理可得，即，對根號里面配方可得，3 提示：當(dāng)能相遇，其中時相遇一次，時，能相遇二次。4 解：將正交分解為，設(shè)經(jīng)過t的時間落到斜面上則，又由和可解得：5 解：根據(jù)勻速運動的特點，設(shè)二桿運動單位時間的位移為，的位移為，如圖211所示，A的位移為，的大小就是A點速度的大小6解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿繩的方向，那么P的速度現(xiàn)取Q為參考系，因為Q無加速度，所以P在Q系中的加速度等于P在地面系中的加速度。在Q系中，P有一個垂直于PQ的速度。 因為很小，所以，因此因此7解：（1）假設(shè)碎片不會碰頂，應(yīng)有 即配方得：當(dāng)時，此時以上假設(shè)要求：，即（2）若h不滿足上述要求，則以角飛出的碎片將撞擊天花板，飛行軌跡發(fā)生變化。此時拋得最遠的碎片應(yīng)該是未撞擊天花板而最高點恰好和天花板相切的碎片，這時有由以上三式可解得：（3）因為，所以在不碰頂時，h越大R越大。H可取的最大值是，此時下面再考慮碎片碰頂?shù)那闆r，求極值，可得當(dāng)時，R有最大值8（1）在不考慮摩擦?xí)r，滑塊在桿上運動的加速度即為重力加速度的切向分量 其中為滑塊所在點桿的法線與重力方向的夾角。一般不為零，且一定不超過g，當(dāng)時，桿近于豎直，趨近于g，于是可判斷，由此算得， (2)考慮摩擦而桿不動，則滑塊靜止為靜力平衡，滑塊受重力影響有下滑趨勢，摩擦力向 上，支持力和摩擦力大小分別為，平衡條件要求，或設(shè)時，則滑塊靜止的條件為。（3）當(dāng)桿勻速轉(zhuǎn)動時，則在滑塊相對于桿不動時，支持力和摩擦力在豎直方向的分力之和與重力平衡，在水平方向的分力之和使滑塊產(chǎn)生水平的向心加速度，由此可得，（不妨設(shè)摩擦力沿桿向上）由以上二式可得：，當(dāng)時，有。即無摩擦力，向心加速度完全由重力和支持力的合力提供，這個關(guān)系對任何都能滿足，即此時滑塊在任何位置都相對于桿靜止。（4）當(dāng)時，由可知，即摩擦力實際是向下的，由于旋轉(zhuǎn)太快而滑塊上有上移的趨勢，滑塊相對靜止的條件為：即：，或此二次函數(shù)不等式的判別式為：故不等式滿足的條件為：或用代入，即得滑塊不滑動的條件為或。9解：因為B點繞A軸作圓周運動，其速度的大小為（1）B點的向心加速度的大小為（2）ACDBaCnaC taC因為是勻角速轉(zhuǎn)動，B點的切向加速度為0，故也是B點的加速度，其方向沿BA方向因為C點繞D軸作圓周運動，其速度的大小用表示，方向垂直于桿CD，在考察的時刻，由圖可知，其方向沿桿BC方向因BC是剛性桿，所以B點和C點沿BC方向的速度必相等，故有（3）此時桿CD繞D軸按順時針方向轉(zhuǎn)動，C點的法向加速度 （4）由圖可知，由（3）、（4）式得 （5）其方向沿CD方向 下面來分析C點沿垂直于桿CD方向的加速度，即切向加速度 因為BC是剛性桿，所以C點相對B點的運動只能是繞B的轉(zhuǎn)動，C點相對B點的速度方向必垂直于桿BCABCDxy令表示其速度的大小，根據(jù)速度合成公式有 由幾何關(guān)系得 （6）由于C點繞B作圓周運動，相對B的向心加速度 （7）因為，故有 （8）其方向垂直桿CD.由（2）式及圖可知，B點的加速度沿BC桿的分量為 （9）所以C點相對A點（或D點）的加速度沿垂直于桿CD方向的分量 （10）C點的總加速度為C點繞D點作圓周運動的法向加速度與切向加速度的合加速度，即（11）的方向與桿CD間的夾角（12）